Analizar una función con su derivada

queremos ver dónde f x iguala x al cubo menos 12 x 4 alcanza máximos o mínimos como ya platicamos en vídeos pasados esto básicamente se reduce a encontrar sus puntos críticos entonces lo primero que vamos a hacer es calcular la derivada de f porque junto al justo los puntos críticos es donde la derivada o bien nuestra definida o bien se anula y para derivar la pues simplemente tenemos un polinomio a que hay algunos x algunas potencias entonces este término derivado es 3x al cuadrado este de aquí es menos 12 y como aquí tenemos una constante y la constante no cambia cuando cambia x entonces tenemos 0 verdad entonces la derivada sería 3x cuadrada menos 12 ahora esto está definido para cualquier valor de x verdad no hay problema poniendo ningún valor de x de este modo los únicos puntos críticos van a ser aquellos en los cuales 3x cuadrada menos 12 sea igual a 0 entonces para encontrar estos puntos vamos a despejar x lo primero que vamos a hacer es sumar 12 de ambos lados nos quedaría que 3 x al cuadrado es igual a 12 y luego dividiendo entre 3 nos queda x al cuadrado es igual a 12 entre 3 a 4 muy bien y aquí tenemos dos chances sacando la raíz cuadrada un chance es que sea igual a 2 y el otro chance es que x x sea igual a menos 2 va nada más para ver que todo va muy bien déjame ver si en efecto ahí se anula la derivada entonces f prima de 2 nos quedaría a ver 2 al cuadrado es 4 3 x 4 es 12 menos 12 es igual a 0 ahí vamos bien y luego menos 2 efe prima de menos 2 puede saber menos 2 al cuadrado otra vez es 4 3 por 4 es 12 menos 12 otra vez nos da 0 entonces efe prima de menos 2 es igual a cero y esto lo que nos dice lo que nos dice es que 2 no voy a poner un poco más separado dos y menos dos son puntos críticos puntos críticos críticos d muy bien ahora el problema es que no sabemos si son máximos o sea si hay un máximo y un mínimo o ninguna de las dos que podría pasar verdad como ya platicamos entonces ahora lo que nos gustaría ver es cómo cambia el signo de la derivada el signo de la derivada cuando cruzamos esos puntos déjame poner aquí una gráfica vamos a graficar f prima sal entonces vamos a graficar la derivada no la función con un poco de suerte después vamos a poder graficar la función pero empezando con f prima y voy a poner un eje y voy a poner otro eje más o menos algo así sí más o menos algo así está bien entonces aquí está el eje y el eje x y cómo se vería la gráfica de f prima pues ve o sea una primera cosa que podemos hacer déjame agarrar el color de la derivada es evaluar en cero entonces efe primer cero la deriva del cero es igual a menos 12 - 12 eso nos da la ordenada al origen entonces un punto de la gráfica es el 0,12 menos 12 y otros dos puntos que conocemos están dados por estas raíces en 12 0 y en menos 2 también entonces aquí en dos miradas está nuestra escala sí pero no le aquí tenemos una escala en x y en ya tenemos otra escala entonces estos puntos de acá menos 20 20 y 0 como a menos 12 son puntos de la gráfica de este modo la derivada tiene más o menos esta gráfica y luego llega a este punto y luego empieza a subir entonces esta es la gráfica de f prima de x muy bien entonces qué sucede con f prima de x cuando cruzamos menos 2 y 2 pues al principio antes de cruzar menos 2 tenemos que f prima es mayor que 0 en este caso de acá sin mejorar el color verde en este caso de acá tenemos que f prima es mayor que 0 y en este caso de acá tenemos que f prima es menor que cero efe prima es menor que cero entonces mira cambiar de más a menos era nuestro criterio para que en ese punto la función original tuviera un máximo claro hablando de puntos críticos entonces este 2 este 2 corresponde déjame ponerlo con un color que se note vamos a ponerlo con blanco este 2 no perdón este menos 2 es en este punto de acá verdad es un máximo máximo y ahora qué sucede en dos ahora sí en dos pues en dos efe prima es negativa estamos por abajo del eje x efe prima es negativa y después de cruzar el 2 tenemos que f prima se hace positiva va entonces aquí efe prime es mayor que 0 de este lado f prima es menor que cero y eso de ahí era nuestro criterio para determinar que teníamos un mínimo entonces en dos tenemos un mínimo muy bien ahora está nada más para volver a acordarnos de cómo estaba la intuición de por qué de más a menos nos da un máximo y de menos a más o nos daba un mínimo voy a dibujar aquí unas pequeñas gráficas y mira que o sea que nos dice esto que nos dice que la derivada sea mayor que cero en términos de la función original pues nos dice aquí voy a más o menos pintar a esta altura porque sucede nos dice que antes de este punto la función y es creciente hasta que llega más o menos acá y luego la derivada se hace negativa y por tanto las funciones por esta razón obtenemos un máximo en este punto y de manera similar trazando más o menos a esta altura a esta altura la gráfica de la función primero tenemos que la función es decreciente entonces va bajando va bajando hasta que llegamos a este punto donde la derivada se hace cero y como la derivadas de hace cero pues ahí tenemos un punto crítico y qué sucede después después tenemos que la función empieza a crecer porque la derivada es mayor que cero y por tanto aquí tenemos un mínimo entonces estaría acá es mínimo y este de acá es máximo muy bien vamos a aprovechar esta intuición que recordamos para ver si ahora podemos graficar pues no no f prima de x sino fx entonces para eso déjame irme para acá arriba y otra vez pintar mis ejes más o menos a esa altura ahí tenemos el eje y más o menos por acá por acá tenemos el eje x entonces vamos a ver qué podemos decir vamos a regresar nos a la función efe fx es estar acá vamos a obtener su ordenada al origen para mejorar el color amarillo entonces efe efe ahora sí efe en 0 nos queda igual a este 0 este 0 es igual a 4 vale entonces efe de 0 es igual a 4 entonces más o menos estamos por este punto de acá es el 0 4 más o menos como esa altura y que más sabemos cada 3 - 2 y 2 son puntos especiales entonces a lo mejor nos conviene ver cuánto es efe de menos 2 para ver qué sucede acá entonces efe - 2 cuanto es menos 2 al cubo menos 2 x menos dos es cuatro por menos 12 menos 8 menos 8 luego menos 2 por 12 2 por 2 es 24 menos por menos es más más 24 y luego hay que sumar otros 4 aquí tenemos 24 y cuatro es 28 menos 8 es igual a 20 ok entonces mira esto está padre otro punto que conocemos voy a marcar dónde está el menos 2 y 2 porque son puntos importantes entonces otro punto que conocemos es el menos 2,20 si éste ya que era 4 8 12 16 como por acá queda al menos 220 y este es otro punto de la gráfica de efe y mira que sabemos de este punto de acá sabemos que aquí hay un máximo entonces aquí tenemos un máximo este tenemos que tener que la función sea primero creciente y luego decreciente entonces la gráfica se vería más o menos así la gráfica de f la función empieza a ser creciente y llega hasta acá y después tiene que ser decreciente entonces empieza a ser decreciente decreciente y en algún momento tiene que pasar por este punto de acá el que ya habíamos marcado más o menos algo de este estilo pero luego al acercarnos a dos al acercarnos a dos pasa otra cosa verdad cuando aquí la función sigue siendo decreciente pero al llegar a dos pues pasa esto de acá ahora en dos tenemos un punto un punto mínimo vamos a ver cuánto vale y efe en dos entonces lo voy a escribir por acá efe en 2 2 al cubo es 8 luego hay que restar 24 y a eso tenemos que sumarle 4 cuánto nos queda en menos 24 4 es menos 20 más 8 es igual a menos 12 5 4 y 8 es 12 menos 24 nos da 12 ok entonces este punto de acá bueno en este 2 debemos de tener un valor igual a menos 12 este es menos 12 20 y qué sucede después qué sucede una vez que cruzamos el punto 2 pues ahora la derivada del mayor que 0 y por tanto la función se hace creciente y tiene que hacer algo de este estilo vale muy bien entonces bueno fíjate ya logramos dos cosas ya este gracias a la información de la derivada pudimos dar un esbozo de cómo está dibujada la función y pues también lo que ya lo que queríamos encontrar desde el principio verdad gracias a ver cómo cambia el signo de la derivada logramos ver que estos puntos críticos eran mínimos o máximos entonces en dos teníamos un punto mínimo que le correspondía el menos 12 si menos 12 y en menos 2 teníamos un máximo que le correspondía fd x igual a 20