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Contenido principal
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Si la función u es continua en x, entonces Δu→0 conforme Δx→0

Transcripción del video

el resultado del que espero darle un poco de intuición es uno que vamos a utilizar después para una demostración de la regla de la cadena y digo una demostración porque puede que haya varias demostraciones de ella así que este resultado dice que si tenemos nosotros una función de x que es continua en un punto c continua en x igual hace muy bien entonces esto nos va a implicar que el cambio en un tenderá a cero cuando el cambio en x tiende a cero y por supuesto este cambio en x debe ser alrededor de c muy bien entonces quizás lo que valdría la pena es recordar que significa que una función sea continua en un punto x igual a 0 y eso lo vimos incluso o lo repasamos en el vídeo donde demostramos que la deriva bilidad implica la continuidad muy bien pero esto simplemente vamos a repasar lo esto nos dice que el límite cuando x tiende a c dvd x es igual a lo que esperamos verdad evaluar y en el punto c muy bien y por supuesto esto lo único que nos está diciendo es que no tenemos saltos en la gráfica o que no tenemos agujeros verdad y de hecho lo hemos visto ya en otros vídeos así que en este momento lo que vamos a hacer es manipular esta expresión algebraica mente y algo que hay que notar antes de continuar con todos nuestros argumentos es que udc es un valor fijo verdad u desea lo mejor no se puede ser 5 o 100 opi o puede ser lo que ustedes a lo mejor puedan imaginarse pero lo importante es que esto ya es un valor fijo esto ya no depende de la x muy bien así que vamos a calcular o vamos a manipular algebraica mente esto simplemente podemos pasar restando el udc verdad entonces tendríamos que el límite cuando x tiende a c de de x menos udc esto es igual a 0 verdad y esto lo podemos meter todo en un solo límite porque justamente ud se es una constante y el límite de una constante es la misma constante de hecho esto lo vimos en el vídeo donde demostramos que la deriva bilidad implica la continuidad verdad simplemente observamos que pues que si x tiende a ser de x tenderá a udc por ser continua y entonces udc menos udc nos daría a 0 verdad entonces esto solo es un breve repaso de lo que ya hemos estado viendo aunque entonces esta expresión que acabamos de obtener es lo que nos dará la esencia de lo que queremos probar verdad que el cambio no tenderá a cero y para eso valdría la pena hacer un buen dibujo digamos que aquí tenemos nuestro eje u y aquí tenemos nuestro eje x y digamos que nuestra función se ve algo así muy bien entonces no sé tomémonos algún punto que digamos que este es el punto ce y pues por supuesto por acá andará el valor dc muy bien ahora si nos tomamos un punto x digamos este punto x entonces el valor de la función o evaluado en el punto x estará por aquí verdad corresponde a ese punto y a partir de esta imagen podríamos ir observando algunas cosas por ejemplo el cambio en un lo podríamos ver justo como esta altura esta misma altura es lo que podemos ver como el cambio en un entonces si nosotros definimos el cambio en y como pude x menos udc es justamente lo que hemos rayado aquí con verde cuál sería entonces el cambio en x pues sería justamente esto que tenemos aquí verdad la diferencia que hay de x ac entonces el cambio en x es igual a x menos c verdad entonces observemos lo siguiente cuando x se aproxima hace el cambio en x se aproxima a 0 así que esta expresión que nosotros teníamos acá arriba lo podríamos reescribir de la siguiente forma el límite del cuando el cambio en x tiende a 0 verdad porque cuando x tiende a c pues el cambio en x tiende a 0 de nuestro cambio en que es justamente lo que tenemos en este paréntesis será igual a 0 verdad simplemente reescribimos este último límite y por supuesto lo que nos está diciendo aquí es justamente verdad cuando el cambio en x tiende a 0 entonces el cambio en uno tiende también a cero verdad y es justamente lo que queríamos demostrar era lo que teníamos acá arriba con amarillo verdad y en cierto sentido uno podría pensar que es algo de sentido común verdad para las funciones continuas verdad si nuestro cambio en x está aquí medido esto es el cambio en xy cuando lo hacemos tender entonces el cambio en la función verdad irá disminuyendo disminuyendo hasta atender al valor o más bien la función tendrá el valor udc y eso hace que el cambio se entienda a cero así que espero que te haya gustado esta exposición porque además lo vamos a utilizar para demostrar la regla de la cadena en el siguiente vídeo