Ejemplo resuelto: derivada de √(3x²-x) con la regla de la cadena

lo que quiero realizar en este vídeo es empezar con una forma abstracta de la fórmula que conocemos o llamamos la regla de la cadena y luego aprenderemos a aplicarla usando una forma un poquito más concreta así que empecemos con una con alguna función con una expresión que pueda verse como el producto de dos funciones o una composición de dos funciones y las vamos a expresar como f deje x f de g de x entonces es una función expresada como una composición de dos funciones y dejan aquí pongo del mismo color para que estén acorde no surjan confusiones y entonces nos interesa tomar la derivada respecto de x de este ejemplo entonces lo que haría la regla de la cadena lo que nos dice es que esto va a ser igual a la derivada de nuestra función efe con respecto a la función con la que está compuesta y nosotros podemos escribir esto como f prima f prima pero no de x sino de lo que está compuesto adentro que sería de g x por la derivada de nuestra función interior o bien la composición pero respecto de x que se viaje prima de x y todo esto es meramente abstracto yo creo que quedaría más claro si lo aplicamos en un ejemplo real entonces aquí tenemos la derivada respecto de x y vamos a poner la siguiente función que sería la raíz cuadrada la raíz cuadrada de 3x cuadrada menos x y quizás a quien es muy claro cómo está la composición por lo que yo creo que sería adecuado poner de otra forma estas dos funciones y entonces para que esto esté claro espero ustedes de acuerdo vamos a poner acá a fx que sea la raíz de equis y de otro color de color amarillo para que las identifique agv x que sería como lo que está dentro 3 x cuadrada menos x y éstas las vamos a ir desarrollando poco a poco y vamos a poner por acá abajo la composición que sería f gx y lo vamos a poner de amarillo y entonces esto queda de la siguiente forma tenemos que esto sería igual a la derivada de fx que sea la derivada de la raíz de x en este caso pues no tenemos a x verdad sino ag de xy estoy haciendo como un pequeño truco espero logres verlo porque no es precisamente la composición x no es la otra función entonces aquí nos queda la raíz de 3x cuadrada menos x entonces ya al seguir estos pasos que es lo que queremos llegar y si primero nosotros encontramos fx de esta forma y gx en su otra forma quizás nos resulte más sencillo y será justo lo suficiente entonces ahora si aplicamos la regla de la cadena donde sé que esto sería f prima de x y ésta sea la derivada de f con respecto de x entonces esto lo podemos escribir como x a la un medio que corresponde a lo mismo si tenemos raíz de x y al realizar la derivada nos queda un medio a la 1 menos un medio que esto queda un medio negativo y esta es la derivada de f prima de x entonces acá abajo es lo mismo que si ponemos f prima de dicha composición deje de x entonces reescribiendo lo aquí abajito para que nos quede más claro sería un medio de la composición y de adentro a la menos un medio entonces aquí escribo de color amarillo gdx para que no se confunda cada vez esto es igual igual a tener voy a agarrar el mismo color un medio de gx donde eje x corresponde a 3x cuadrada menos x e igual de igual forma se eleva a la menos un medio simplemente lo estamos reescribiendo pero al final es exactamente lo mismo que nosotros tenemos por aquí que sería f prima de eje x es igual a esto de acá entonces los voy a encerrar en este rectángulo para ir identificando pero déjame lo escribes de un color diferente al amarillo porque luce demasiado entonces en este rectángulo verde es lo mismo que tenemos por acá vamos a ir identificando las partes para ir dándole un mejor formato a esto entonces quedamos que esto es efe primer eje x de la composición que sería un medio de la composición a la menos un medio y aquí adentro igual 3x cuadrada menos x y también lo voy a encerrar de color verde para que lo identifique y ahora vamos por otro lado hay que tomar ahora la derivada de la composición que en este caso quede x representa el 3 x cuadrada menos x en este caso resulta un poco más sencillo pues es la derivada de eje de x entonces donde x ahora es este valor que está por aquí ya no estamos haciéndolo como respecto de alguna función sino ya son los simples valores entonces que prima de x respecto a la regla de la potencia en este caso va a ser 2 por 13-6 x menos 1 eso se viaje prima de x entonces acá lo voy a escribir abajo 6 x menos 1 que está multiplicando a la derivada anterior y está en esta ocasión lo encerraremos del color azul para que identifiques qué es y lo hemos hecho solamente aplicamos la regla de la potencia y como repaso esto que está por acá su derivada es un medio de 3x cuadrada menos x a la menos un medio que a su vez está multiplicada por la derivada de la composición que en este caso fue 6 x menos 1 y listo hemos acabado