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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es ver el trabajo de otras personas sacando derivadas y verificar que su procedimiento sea correcto o en todo caso detectar en donde se equivocaron y qué es lo que deberían de haber hecho en lugar de lo que hicieron entonces empecemos con este ejercicio que nos dice que natalia intentó encontrar la derivada de x al cuadrado más 5x por seno de x este su trabajo y nos preguntan si está bien hecho y en caso de que esté mal donde se equivocó así es que pone pausa el vídeo e intenta resolverlo por tu cuenta bueno voy a suponer que ya lo intentaste por tu cuenta y vamos a verlo paso por paso por aquí en este paso simplemente le está aplicando el operador derivar a esta expresión que es justo lo que tiene que hacer pero a ver veamos cómo lo hace aquí natalia lo que dice es ok tengo que tomar la derivada de un producto de dos expresiones y ella dice en este segundo paso que eso es lo mismo a multiplicar la derivada de las dos expresiones pero eso no es cierto justo aquí tenemos un problema si tomamos la derivada de la suma de dos expresiones de la función f de x + g de x esto definitivamente sí es igual a la derivada de la primera función más la derivada de la segunda esto de aquí sí es cierto sin embargo si intercambiamos la suma por una multiplicación esto deja de ser cierto la derivada con respecto de x de la función f de x por la función g de x en general no es igual a la multiplicación de las derivadas hay ciertos casos muy específicos en los que si es igual pero en general si es distinto a la derivada de la primera función por la derivada de la segunda función en general esto no es cierto lo que sí es cierto es que la derivada de la multiplicación de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar la más la primera función sin derivar la por la derivada de la segunda función esta es la regla del producto así es que por aquí natalia más bien tenía que usar la regla del producto bueno y ahora vamos a ver qué pasa si natalia hubiera utilizado la regla del producto en lugar de equivocarse esto no es lo que natalia tenía que hacer vamos a aplicar la regla del producto a esta expresión y vamos a utilizar distintos colores entonces por aquí tenemos esta expresión y vamos a sacar su derivada la cual es 2 x x 5 y esta derivada la queremos multiplicar por la segunda función que es el seno de x por seno de x ya esto le tenemos que sumar la primera expresión x al cuadrado más 5x y multiplicarla por la derivada de la segunda expresión y la derivada del seno de x es coseno de x por coseno de x y esto es lo que tendríamos que ver en este paso por aquí estuvo muy mal que natalia multiplicar a la derivada de cada uno de estos términos en lugar de utilizar la regla del producto y por eso le quedó esto en lugar de todo esto que es lo que tenía que que darle así es que su procedimiento no está bien hecho y se equivocó aquí multiplicando las derivadas de las expresiones en lugar de usar la regla de los productos bueno vamos a hacer más ejemplos aquí dicen que katia intentó encontrar la derivada de 2x al cuadrado menos 4 elevado al cubo aquí está su trabajo nos preguntan si está bien su procedimiento y si no cuál es su error en donde se equivocó nuevamente ponle pausa al vídeo e intenta resolverlo por tu cuenta muy bien ahora vamos a inspeccionar el trabajo de catia aquí está tomando la derivada de esta expresión y veamos que también lo hace bueno pues parece que está tomando la derivada de toda esta función con respecto a lo que está adentro del paréntesis la función de adentro lo cual se acerca muchísimo a aplicar correctamente la regla de la cadena pero le faltó un paso porque la respuesta que tenemos aquí no es la correcta el error se encuentra en este paso y su error es no aplicar correctamente la regla de la cadena por aquí vamos a hacer un breve repaso de la regla de la cadena que nos sé que la derivada con respecto de x de f deje de x la regla de la cadena nos dice que esto es igual a la derivada de toda la función con respecto a gm x y eso lo podemos escribir como f prima de g de x pero luego tenemos que multiplicar por la derivada de la función de adentro aunque tenemos que multiplicar por g prima de x por acá podemos ver a la función f como esta función que toma cualquier valor que le demos cualquier valor que pongamos dentro del paréntesis y lo eleva a la tercera potencia esa es nuestra función f y lo que tenemos por acá es f prima evaluada en jefe x esto de acá es f prima de eje x pero le falta multiplicar porque prima de x le faltó multiplicar por la derivada de 2x al cuadrado menos 4 la derivada de 2x al cuadrado utilizamos la regla de las potencias nos da 4x elevada a la 2 menos uno que es 1 y luego también tenemos que sumar la derivada de menos 4 pero ésta es cero entonces aquí la derivada de toda esta función de adentro es simplemente 4x y la tenemos que multiplicar esto es lo que le faltó escribir a katia para que su procedimiento estuviera bien ok este 4x aparecería por acá también aparecería por acá así es que su procedimiento no está bien porque no aplicó correctamente la regla de la cadena pero bueno vamos con el siguiente ejercicio jorge intentó encontrar la derivada de seno de 7x al cuadrado más 4x aquí está su trabajo y nos están preguntando si su procedimiento está bien en caso de que no lo esté cuál fue su error bueno pues estamos tomando la derivada de seno de 7x al cuadrado más 4x así es que tenemos que usar la regla de la cadena que nos dice que aquí tenemos que tomar la derivada de todo esto con respecto a la función de adentro y multiplicarlo por la derivada de la función de adentro pero si tenemos seno de alguna expresión y estamos derivando con respecto a esa expresión la derivada nos da coseno evaluada en esa expresión hasta aquí vamos perfecto pero luego nos falta multiplicar eso por la derivada de la expresión de adentro y esa la tenemos por acá todo pinta muy bien la derivada de 7x al cuadrado es 14 x y la derivada de 4x es 4 entonces hasta aquí está todo perfecto pero por acá parece como que jorge hizo algo muy extraño aquí tenemos la función coseno evaluada en 7x al cuadrado más 4x y luego estamos multiplicando toda esta expresión por 14 x + 4 pero al parecer por aquí porque se confundió un poco a la hora de ver estos dos paréntesis los multiplicó y suele suceder a muchos de nosotros nos pasa este es un error clave súper común con el que hay que tener mucho cuidado uno de los errores más comunes en exámenes de admisión a escuelas es cuando estamos evaluando funciones trascendentales como el coseno el seno la tangente muchas de estas funciones las personas ven ok tenemos aquí coseno y tenemos un paréntesis y al lado de ese paréntesis tenemos otro paréntesis y el cerebro salta e inmediatamente quiere hacer la multiplicación de estas dos expresiones entre paréntesis pero eso no es lo que tenemos que hacer porque aquí esta expresión primero la evaluamos en la función coseno ya después el valor que nos quede de esa función es decir lo tenemos que multiplicar por esta expresión de hecho aquí es una muy buena idea agregar unos paréntesis indicando que primero se tiene que realizar esta operación si es que aquí es donde jorge se equivocó y su error es multiplicar estas dos expresiones y tomar el coseno de toda la multiplicación cuando en realidad sólo debe de tomar el coseno de la expresión del primer paréntesis bueno vamos a hacer un ejercicio más tomás intento encontrar la derivada de la raíz de x / x a la 4 aquí está su procedimiento es correcto sino cuál fue el error como siempre ponle una pausa al vídeo e intenta resolverlo por tu cuenta por aquí parece que intentó aplicar la regla del cociente vamos a checar si está bien en la regla del cociente primero tomamos la derivada del primer término y lo multiplicamos por el segundo término y le restamos el primer término por la derivada del segundo término aunque bueno con primer término me refería el numerador y con segundo término al denominador entonces aquí tenemos la derivada del numerador por el denominador menos tal cual el numerador sin derivar por la derivada del denominador y luego todo eso lo estamos dividiendo entre el denominador al cuadrado así es que efectivamente tomás aplicó muy bien la regla del cociente por aquí parece como que tomás si simplificó bien esta expresión la raíz de x es un medio que puso como 0.5 por equis a la menos un medio y aquí está por equis a la 4 menos la raíz de x por la derivada que es 4x a la 3 así es que efectivamente esto está perfecto pero veamos si hizo todos los cálculos bien por aquí simplificó esto y entonces aquí tenemos 0.5 por equis a la menos 0.5 por equis a la 4 y no espera es este término de acá aunque ya ver este término lo simplificó muy bien nada más que lo puso por acá lo cual está perfecto y luego menos x a la 0.5 x 4 x x a la 3 esto se simplifica en menos 4 x a la 3.5 y ahora bueno pues ahora todo está en términos de x a la 3.5 entonces menos cuatro 0.5 eso es menos 3.5 pero estamos dividiendo entre x a la 8 y 3.5 menos 8 si es menos 4.5 así es que todo esto está perfecto tomás no se equivocó en ni un solo lugar pero si tengo un pequeño detalle que reclamarle a tomás no es que lo haya hecho mal su resultado es correcto pero lo pudo haber hecho de una forma mucho más sencilla realmente no era necesario que aplicará la regla del cociente y que hiciera todos estos cálculos en los que se pudo haber equivocado muy fácil por aquí desde el principio tomás pudo haber simplificado esta expresión pudo haber dicho esto es igual a la derivada con respecto de x de x a la un medio esa es la raíz de x por x a la menos cuatro porque x a la menos 4 es igual a dividir entre x a la 4 hoy vamos a ponerlo con colores esto es lo mismo que esto y este es el numerador pero además aquí esto se puede simplificar todavía más aquí no tenemos que aplicar la regla del producto porque esto es igual a la derivada con respecto de x y aquí como tenemos la misma base x nada más tenemos que sumar los exponentes y nos queda x a la 1 medio menos 4 eso es menos 3.5 y ahora si lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de las potencias aunque tomamos el exponente lo multiplicamos por el coeficiente y nos queda menos 3.5 por equis elevada a la potencia que tenía menos 1 pero menos 3.5 menos 1 es menos 4.5 así es que tomás pudo haber encontrado la derivada de una forma muchísimo más fácil y tenemos la misma respuesta pero este procedimiento fue mucho más sencillo no es que tomás se haya equivocado tuvo la respuesta bien pero podríamos decir que se apresuró a la hora de aplicar la regla del cociente sin pensar que podía resolverlo de una forma más sencilla