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Regla del producto para encontrar la derivada del producto de tres funciones

En este video diferenciamos el producto de tres funciones distintas, y generalizamos la regla de la derivada del producto de un número arbitrario de funciones. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

lo que quiero realizar en este vídeo es pensar cómo podríamos hacer la derivada de expresiones que representan un producto en esta ocasión ya no son sólo dos funciones son ahora tres y lo que haré es que usando las herramientas lo que sabemos para el producto de dos funciones lo utilizaré aquí y la forma en cómo lo estaba yo pensando es que como podríamos ver este producto como reescribirlo para que se viera como dos funciones y lenguas y tomar sus derivadas por separado entonces si entendemos lo que nos dice en la regla de producto esto sería la derivada respecto de x de fx y no vayas a olvidar y cerrando tus paréntesis bueno aquí lo puse con mismo color pero mejor lo pondré de blanco para no confundirnos porque si no te puede causar conflicto y esto irá x gdx que a su vez esto irá x hd x y luego entonces viene la segunda parte que sería más f x como la simple función por la derivada de los demás donde esto viene siendo la derivada respecto de x de la función g x x hdx pero si puedes recordar aquí esto viene siendo otra vez un producto lo que hay perdón tatiana de cupo h baja por hdx entonces lo que aquí pasaría es que tendríamos otra vez que aplicar la regla de producto entonces lo pondré por acá abajo desglosado entonces ahorita nos concentraremos con lo que va a pasar por aquí que viene siendo g prima o la derivada de ge de x por hdx como simple en función más gx en su forma de función por la derivada de h de x o h prima así que lo que tenemos aquí será la derivada de g de x por hdx que es lo que acabamos de anotar por aquí entonces ahora vamos a escribir todo el conjunto y de una forma un poquito más desarrollada entonces lo que acabo de subrayar por aquí sería entonces f prima de x que es la derivada respecto de x df de x por g de equis y así está a su vez por h de x más ahora aquí adelante lo que tendremos que hacer va a ser distribuir esta f x que está con este producto y sería primero con este término y luego con este de acá entonces escribiéndolo nos quedaría fx por g prima de x y alavés por hb x así es x h de x entonces sigue uno más pero bueno lo voy a escribir de color blanco para no confundirnos sería más efe de x por gdx y ahora sería por h prima de x o la derivada de hd x y esto finalmente viene siendo exactamente lo mismo que cuando nosotros teníamos dos funciones multiplican los el producto de dos funciones pero en este caso tenemos tres pero ya supimos cómo llevarlo a cabo y como puedes ver ahora tenemos tres términos y cada uno tiene una derivada de cada una de las funciones aquí es f prima de x prima de x y h prima de x lo que esto nos dice es que que si tenemos cuatro funciones entonces aquí nos deberían de aparecer cuatro términos y cada uno de estos con una respectiva derivada de cada función y así lo podemos llevar y generalizar hasta para n términos lo cual sería con la misma ideología