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Diferenciación implícita (ejemplo avanzado)

Diferenciación implícita de (x²+y²)³=5x²y². Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

y ahora tenemos esta extraña expresión que depende tanto de x como de james y que si nosotros quisiéramos graficar nos saldría este trébol de cuatro hojas un trébol de cuatro hojas de la buena suerte y esto lo grafica del programa wolfram alpha y bueno como ustedes ven en el título del vídeo lo que quiero es encontrar cómo cambia con respecto a x o la pendiente de la recta tangente en cualquiera de los puntos de esta bonita gráfica sin embargo para esto lo que voy a hacer lo que voy a usar es la derivada implícita por lo tanto voy a aplicar el operador derivada tanto de un lado como de otro lado de la ecuación para hacerlo de manera implícita y bueno lo primero que tengo es esta función elevada al cubo por lo tanto usaré la regla de la cadena que me dice bajemos el 3 dejemos todo lo que está dentro del paréntesis igual le bajamos 1 al exponente y lo multiplicamos por la derivada de lo que está dentro y queda es la derivada de lo que está dentro aposté es la derivada de x cuadrada con respecto a x que es 2x + la derivada de cuadrada con respecto a x y otra vez utilizamos la regla de la cadena es 2 y las derivadas de ye con respecto a x recuerden que siempre derivamos esta expresión con respecto a james y lo multiplicamos por la derivada de ye con respecto a x eso cuando queremos hacer una derivada implícita y bueno entonces cierro este paréntesis y del otro lado que me va a quedar utilizaré otro color va a ser igual y tengo la derivada con respecto a x de 5x cuadrada y cuadrada y para derivar esto lo primero que voy a hacer es sacar este 5 que no me va a servir de mucho entonces voy a sacar el 5 lo voy a poner afuera del operador derivada porque es una constante y después tengo la derivada de x cuadrada y cuadrada que es una multiplicación de funciones por lo tanto primero tengo que derivar una función y multiplicarlo por la segunda función y después derivar la segunda función y multiplicarlo por la primera entonces la derivada de x cuadrada es 2x que multiplica al cuadrado esto tengo que sumarle x cuadrado x cuadrada no le hago nada esta vez y la tengo que multiplicar por la derivada de cuadrada con respecto a x usando la regla de la cadena me va a quedar 2 veces y por la derivada de ella con respecto a x ojo como estoy derivando algo que tiene que ver con ye con respecto a x al final le pongo la derivada de ye con respecto a x y bueno aquí tengo el ye cuadrada y el cuadrada su derivada y por otra parte este es la derivada de éste la derivada con respecto a x de ye cuadrada y bueno aquí tengo de x cuadrada aquí tengo en la x cuadrada normal y por otra parte tengo aquí su derivada la derivada con respecto a x también recuerden que es una multiplicación de funciones y por lo tanto la derivada es esta suma que tengo a la derecha y bueno a partir de ahora todo lo que no tenga que ver con de jane de x lo voy a poner de color morado esa base es la convención entonces voy a multiplicar esta expresión es que está demorado por todo lo que está de verde y me queda 3 por 2 x 6 x que multiplica a x cuadrada más cuadrada elevado al cuadrado y después 3 x 2 james edad 6 yen que multiplica a x cuadrada malla cuadrada elevada al cuadrado x cuadrada malla cuadrada elevada al cuadrado que no se me olvide y a esto hay que multiplicarlo por la derivada de ella con respecto a x que lo voy a poner de color verde y bueno del otro lado que tengo del otro lado tengo un 5 que multiplica a 2 x de cuadrada y un 5 que multiplica a x cuadrada por 2 por la derivada de ye con respecto a x entonces 5 por 2 es 10 10 x cuadrada si 5 x 2 es 10 si 10 x cuadrada y bueno después que hay que hacer 5 por 2 también es 10 entonces me va a quedar más 10 veces x cuadrada bien y esto hay que multiplicarlo por la derivada de ye con respecto a y bueno ahora si lo que voy a hacer es juntar términos semejantes por lo tanto voy a hacer operaciones aquí abajo del lado derecho tengo algo que tienen que ver con de jane de x que es 10 x cuadrada y por lo tanto lo voy a pasar restando del otro lado me va a quedar menos 10 x cuadrada james y aquí también menos 10 x cuadrada james y este nos verde diferencial de jane diferencial en x y aquí derivada de hoy derivada de de con respecto a x y bueno ahora si nos fijamos del lado izquierdo tenemos este 6x que multiplica a x cuadrada massieu cuadrada elevado al cuadrado que no tiene que ver con dejen de x por lo tanto lo vamos a restar de ambos lados de la ecuación menos 6 veces x x x cuadrada malla cuadrada elevada al cuadrado y ahora sí voy a hacer las operaciones correspondientes de este lado esto se cancela a 1 que suma y lo otro que resta se cancelan y aquí que me quedan me queda 6 que multiplica a x cuadrada más y cuadrada elevado al cuadrado 10 x cuadrada james todo esto todo esto depende x de james de x es igual y del otro lado que tengo tengo que estos dos se van a cancelar se hacen cero porque uno suma y el otro resta y por otra parte tengo 10 x de cuadrada menos 6x que multiplica a x cuadrada massieu cuadrada elevado al cuadrado y ahora sí si lo que quiero es la derivada de ella con respecto a x voy a hacer desaparecer este factor que tengo aquí y lo voy a pasar dividiendo entonces voy a tratar todo esto y me queda que la derivada de ye con respecto a x es igual a 10 x cuadrada a todo esto que está aquí entonces copiar y pegar a todo esto que está aquí ajaja estoy haciendo trampa y después lo tenemos que dividir entre todo esto que está acá entonces copiar pegar y lo pongo aquí esto está genial y lo único que me hace falta es la raya de división entonces la voy a poner aquí y ya con esto tengo la pendiente de la recta tangente o el cambio de ye con respecto a x o la derivada de ye con respecto a x de cualquier punto de este trébol que yo tengo aquí y por ejemplo si quisiéramos saber cuál es la pendiente de la recta tangente en este punto que tengo aquí bueno pues lo primero que me tengo que fijar es cuánto vale en x que supongamos que toma un valor como por aquí tenemos un valor en x también nos fijamos en un valor en 10 y estos dos los sustituimos en esta extravagante ecuación que tenemos aquí y después de realizar todas estas operaciones podemos ya saber la pendiente de la recta tangente justo en ese punto del trébol