Ejemplo resuelto: derivación implícita

y bueno una vez dado lo que ya vimos vamos a ver si podemos resolver está derivada implícita mucho más fácil tengo x menos y elevado al cuadrado es igual a x menos 1 así que apliquemos el operador derivada a ambos lados de la ecuación y que voy a obtener bueno la primera parte la voy a resolver por la regla de la cadena porque tengo una función elevada al cuadrado y por lo tanto la regla de la cadena lo que dice es baja el exponente entonces vamos a poner aquí el 2 después ponemos tal cual la función y le bajamos 1 el exponente dos veces x menos a la potencia dos menos uno que es uno pero como es la potencia uno ya no lo voy a escribir y después dice la regla de la cadena ahora deriva lo que está dentro con respecto a x la derivada de x con respecto a x es 1 y la derivada de ella con respecto a x es justo lo que queremos es la derivada de ella con respecto a x muy bien esto es del lado izquierdo de la ecuación todo esto fue por la regla de la cadena esta es la derivada d x elevada al cuadrado con respecto a x menos con respecto a x menos estos por la regla de la cadena y esto que está aquí de rojo es la derivada de x menos con respecto a x recuerden la regla de la cadena ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa del lado derecho esto va a ser igual a la derivada con respecto a x de x lo cual es 1 y la derivada con respecto a x de ye pues es la derivada de llegó en respecto a x justo lo que queremos y después la derivada con respecto x de una constante se va recuerden que las derivadas de una constante no aparecen entonces ya no hay necesidad de ponerlo y ahora sí vamos a tratar de despejar a la derivada de ya con respecto a x para eso lo primero que voy a hacer es empezar a distribuir todas estas multiplicaciones que tengo aquí tengo 2 que multiplica a x menos y es lo mismo que 2 x menos 2 james y esto a su vez multiplica a uno menos las derivadas de y con respecto a x entonces va a ser este por este y este por éste 2 x 2 x 1 pues es 2 x 2 2 x menos oye ahora tengo 2 x menos 2 ya que multiplica a menos la derivada de ye con respecto a x como tengo un signo menos lo que voy a hacer es cambiarla y la x del lugar me voy a quedar 2 james menos 2x por la derivada de ye con respecto a x ojo cambie a la y l x del lugar por el signo menos que teníamos acá arriba y bueno del lado derecho no queda uno más la derivada de ella con respecto a x ahora lo que quiero hacer es despejar a la derivada de que con respecto a x por lo tanto de este lado voy a restar menos 2 x menos 2 james y si lo hago de un lado también lo tengo que hacer es de otro lado menos 2 x menos 2 james para que se cancelen estos dos términos y de este lado pues tengo que poner lo mismo menos 12 x menos 2 muy bien ahora bien de este lado derecho tengo la derivada de ye con respecto a x positiva y la voy a pasar del lado izquierdo con signo contrario por lo tanto la tengo que restar de ambos lados de la ecuación y me queda menos con respecto a equis y aquí también menos la derivada de ella con respecto a equis y ahora sí voy a hacer las correspondientes operaciones tanto del lado izquierdo como del lado derecho y 2x menos 2 ya que suma y 2x menos 2 ya que restan se van se hacen 0 desaparecen aquí tengo 2 menos 12 x menos 1 que multiplica a la derivada de ella con respecto a x y eso lo voy a escribir este menos es menos 1 por lo tanto me queda dos menos 12 x menos 1 todo eso multiplicando a la derivada de ella con respecto a x 2 y menos 2 x menos 1 todo esto multiplicando la derivada de ella con respecto a x ahora qué pasa del otro lado tengo esta derivada de ye con respecto a x menos la derivada de ella con respecto a x se van también y lo que se queda es un 11 menos 2x y un menos x menos me va a dar más un +2 james aquí me queda menos x menos me queda más 2 - 2x y este 1 de acá arriba 1 y ahora sí si lo que quiero es despejar a la derivada de ella con respecto a x voy a pasar todo esto que está multiplicando dividiendo entonces me queda la derivada de ye con respecto a x va a ser igual y ya por fin acabe justo lo que quería la derivada de ye gon respecto x esto es igual a bueno del lado derecho tengo 2 menos 12 x + 1 y hay que dividirlo entre dos y menos 2 x menos 1 y hemos acabado