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Mostrar que la derivación explícita e implícita dan el mismo resultado

Transcripción del video

la idea de este vídeo es poderles mostrar que la derivación implícita y la derivación explícita es justo la misma es decir la derivada que siempre conocíamos y la derivada que vimos en el vídeo pasado es la misma y para eso me voy a tomar una función en la cual yo pueda despejar fácilmente la jr tengo la función x que multiplica a la raíz de y es igual a 1 y bueno pues despejemos a la variable y entonces me queda que la raíz de y es igual a 1 entre x la x la estoy pasando dividiendo y después voy a elevar al cuadrado ambos miembros de esta igualdad por lo tanto no queda que es igual a 1 entre x cuadrada o dicho de otra manera y es igual a x elevado a la menos 2 y calcular la derivada de esto es muy sencillo lo podemos hacer por la regla de la potencia entonces me queda que la derivada de ella con respecto a x es igual a menos 2 bajo el exponente y el exponente le restó 1 - 2x la menos 3 bueno por la derivada normal que nosotros sabemos llegamos a este resultado ahora lo que quiero mostrarles es que si derivamos implícitamente también vamos a llegar al mismo resultado así que para esto tomemos el operador derivada de ambos lados de la relación y me queda que la derivada con respecto a x de x que multiplica a la raíz de james es igual a la derivada con respecto a x de 1 y bueno aquí tengo la derivada con respecto a x de una multiplicación de funciones por lo tanto para resolver esto nosotros teníamos una fórmula que decía primero deriva una multiplicada por la segunda y sumarle la derivada de la segunda y multiplicada por la primera entonces voy a hacer esta regla que dice la derivada de una multiplicación de funciones es la derivada de la primera función en este caso es x y esto multiplicado por la segunda función que es raíz de james + la primera función tal cual no le hacíamos nada y la multiplicamos por la derivada de la segunda función a la derivada con respecto a x la segunda función que es raíz de y entonces es la derivada con respecto a x de la raíz de james y esto va a ser igual a la derivada con respecto a x de uno pero uno es una constante por lo tanto la derivada de una constante es y hasta aquí vamos todo bien ahora vamos a realizar las correspondientes derivadas la derivada con respecto a x de x pues eso es muy sencillo esto es 1 y que multiplica a la raíz de jaymee queda simple y sencillamente la raíz de y por lo tanto que me queda la raíz de james porque recuerda que multiplicar por 1 es no hacer nada por lo tanto no queda en la raíz de james ya esto hay que agregarle x que multiplica a la derivada con respecto a x de la raíz de ye y para resolver esta segunda derivada que yo tengo aquí voy a usar la regla de la cadena entonces es más x aquí lo voy a poner que multiplica a esta derivada pero entonces vamos a resolver esta derivada aparte para ver qué es lo que nos sale si utilizamos la regla de la cadena cuál es la derivada con respecto a x de la raíz de y recuerden que ya es una función que depende de x por lo tanto las necesitamos derivar con mucha calma tenemos que bajar el exponente que es un medio un medio que multiplica a elevada a la un medio menos 1 esto que acabamos de hacer es la derivada de la raíz de ye con respecto a la misma para que no se confundan lo voy a poner aquí con mucha calma para que vean que es lo mismo la derivada con respecto a x de la raíz de x es lo mismo que la derivada x elevada a la un medio por lo tanto bajamos el exponente me queda un medio que multiplica a x elevada a la un medio menos 1 es decir a la menos un medio y es por esa razón que tenemos que la derivada con respecto a jeff de la raíz de james es esto que tenemos aquí ya esto hay que multiplicarlo por la regla de la cadena por la derivada de ella con respecto a x es decir nos acaba esto aquí es un medio que multiplica a ye elevada a la menos un medio que a su vez multiplica a la derivada de ya con respecto a x ojo esto es por la regla de la cadena y realmente esto no es tan difícil lo único que hay que hacer es derivar las funciones que dependen de y con respecto a ayer y siempre multiplicarlo por la derivada del día con respecto a x y esto va a ser igual a 0 no se te olvide siempre que derive algo con respecto a y multiplicar al final por la derivada de y con respecto a x este es el consejo que te puedo dar y bueno ahora lo que quiero es despejar la derivada de y con respecto a x para que yo pueda poner todo en términos de y después en términos de x para ver si son iguales voy a hacer magia y dice algo si seleccionas y ahora lo ven ahora no lo ven y ahora lo ven otra vez muy bien corte y pegue todo esto para tener un poco más de espacio pero creo que lo voy a regresar mejor a donde estaba si no no para que trabaje todo hacia abajo ok ya lo tengo otra vez aquí y ahora lo que voy a hacer es despejar a la derivada de ye con respecto a x para ver que en efecto nos dé la misma cosa por lo tanto lo que voy a hacer es restar de ambos lados de la ecuación la raíz de y y además lo que voy a hacer es acomodar esto de una manera que sea mucho más fácil escribirla porque yo tengo x que multiplica a un medio que sube multiplica ai elevada a la menos un medio y esto es lo mismo que x entre dos veces la raíz de james x por unas x el 2 queda abajo y elevado a la menos un medio es lo mismo que la raíz de y abajo dividiendo y esto multiplica a su vez a la derivada de ye con respecto a x y la raíz de yebla voy a pasar del otro lado con signo negativo y como me hace falta espacio lo que voy a hacer ahora sí es pasar esto para arriba para continuar con lo que estaba haciendo y lo que estoy haciendo realmente lo que quiero es despejar a la derivada de ya con respecto a x recuerden que atrás de eso vamos entonces aquí tengo a x entre dos veces la raíz de ye que está multiplicando a la derivada de ye con respecto a x por lo tanto si yo quiero despejar a la derivada de ye con respecto a x tengo que pasar del otro lado la x entre dos veces la raíz de y sin embargo esto es un quebrado esta es una fracción por lo tanto la puedo pasar del otro lado como su recíproca es decir dos veces la raíz de james entre x y esto a su vez va a multiplicar a la menos raíz de yen y esto fue porque pasamos la fracción del otro lado y ahora si dos veces la raíz de y por menos raíz de ye es menos dos veces james y esto hay que dividirlo entre equis y ahora si ya tenemos que la derivada de ella con respecto a x despejada es igual a menos 2 entre x y bueno seguramente vas a decir pero no llegamos al mismo resultado que pasó aquí yo tengo que la derivada de ya con respecto a x es igual a menos 12 x a la menos 3 y aquí tengo que es menos 2 y entre x donde queda la y dónde queda el x la menos 3 que puedo hacer sin embargo no te olvides que aquí ya habíamos despejado ayer por lo tanto lo que hay que hacer es sustituir ayer en la segunda igualdad es decir esto nos va a quedar de la siguiente manera la derivada de ye con respecto a x es igual a menos 2 veces jeff pero ya era 1 / x cuadrada por lo tanto me queda menos 2 veces uno entre x cuadrada lo voy a poner de amarillo para que no nos perdamos menos 2 que multiplica a 1 entre x cuadrada ya esto hay que dividirlo entre y ahora si esto es lo mismo que menos 2 / x al cubo esto por la ley del sándwich y por cierto es lo mismo que menos 2 veces x elevada a lo menos 3 lo logramos