Derivadas de funciones inversas

supongamos que tenemos un par de funciones que son inversas entre sí así que tengo por acá a fx y también voy a tener a g de la cual será la inversa de fx por lo tanto fx también será la inversa de g de x y xi la noción de función inversa es completamente desconocida te encargo que antes de ver este vídeo repase los vídeos sobre la función inversa en khan academy ahora la idea principal de una función inversa es que si tomas de fx o puedes decir que si tomas la función inversa df de x bueno obtienes x y esto sale de la idea de que es una función inversa si este es x entonces la función f mapea esta x a un cierto valor f x y ahora la función g o f inversa lo que hace es tomar f x y mapear la de regreso a x así que aquí tengo a efe inversa que como ya dijimos es lo mismo que cede x así que este fue un pequeño repaso de funciones inversas pero ahora vamos a aplicar un poco de cálculo a todo esto y vamos a usar la regla de la cadena y estoy seguro de que vamos a obtener un resultado muy importante lo que voy a hacer es tomar la derivada de ambos lados de esta ecuación por lo tanto voy a aplicar el operador derivada de ambos lados y que voy a obtener bueno del lado izquierdo tenemos que aplicar la regla de la cadena me quedaría la derivada de g con respecto a efe y tendría que prima de ft x ya esto hay que multiplicarlo por la derivada de f con respecto a entonces esto por efe prima de equis y bueno esto va a ser igual a que tengo la derivada con respecto a x de x eso es simplemente 1 y aquí es donde tenemos nuestro resultado importante todo lo que hemos hecho es simplemente aplicar lo que conocemos sobre funciones inversas y después usamos la regla de la cadena para poder tomar la derivada y si ahora dividimos todo entre g prima de fx que vamos a obtener bueno vamos a obtener una relación entre la derivada de una función y la derivada de su función inversa obtendríamos que f prima de x es igual a 1 entre g prima de fx y esto es bastante elegante porque si sabes la derivada de una función entonces puedes encontrar la derivada de la función inversa además podemos ver que esto es cierto tomando ejemplos de algunas funciones por ejemplo si decimos que fx es igual a a la x entonces gtx es igual a am bueno a la función inversa de fx y cuál es la inversa de ea la x una forma de verlo es que si tenemos que igualar al x y queremos encontrar su inversa primero cambiamos las variables y obtengo que x es igual a e al aiem y si aplicamos el logaritmo natural de ambos lados obtengo que el logaritmo natural de x es igual a ye así que la inversa de ea la x es el lugar y donato uralde x y una vez más es simplemente un repaso de funciones inversas recuerdan si esto te parece desconocido revisa el contenido sobre funciones inversas en khan academy entonces gdx es igual al logaritmo natural de x ahora veamos si esto es cierto para estas dos funciones a que sería igual f prima de x bueno este es uno de los resultados más bellos del cálculo ya que sabemos que la derivada de la x es la equis y en otros vídeos ya hemos visto que la derivada del logaritmo natural de x es 1 / x así que veamos qué dice esta expresión tengo que ir a la x debe de ser igual a 1 / g prima de fx ok eso me quedaría como 1 entre 1 / efe de x que es la equis y bueno es esto cierto pues sí lo es 1 entre 1 entre a la x es simplemente a la x así que todo funciona y bueno como ambas son funciones inversas puedes ir en el otro sentido y decir que he prima de x esto es 1 / efe prima deje de x porque son inversas entre sí de todo esto lo importante es que ya podemos encontrar la derivada de la función inversa usando esta expresión así que nos vemos en el siguiente vídeo hasta pronto