Derivada de la inversa de la tangente

ya sabemos que la derivada con respecto a x de tangente de x es igual a la secante de x al cuadrado lo cual por supuesto es igual a 1 sobre el coseno de x al cuadrado lo que quiero que hagamos en este vídeo como hemos hecho en los vídeos anteriores es calcular la derivada con respecto a x de la tangente inversa de x es decir queremos calcular la derivada con respecto a x de la tangente inversa de x y te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes usando una técnica similar a la que usamos en los vídeos anteriores calcular cuánto vale esta derivada bien hagamos que igual a tangente inversa de x esto equivale a establecer a decir que tangente de y es igual a equis y puedes imaginarte que estás tomando tangente a ambos lados para obtener entonces que tangente de y es igual a equis derivamos entonces con respecto a x ambos lados derivamos con respecto a x ambos lados y que obtenemos del lado izquierdo aplicando la regla de la cadena la derivada de tangente de iu es secante cuadrada de y que podemos escribir la deriva de tangente de jessica anticuada de ella que puedo escribir como uno sobre coseno cuado de y yo prefiero escribirlo de esta manera como que mi mente identifica mejor esta expresión así es que esto es la deriva de tangente de y por aplicando la regla de la cadena la derivada de ye con respecto a x por d y én de x y esto es igual esto es igual a la derivada de x con respecto a x que es 1 y ahora vamos a despejar de jane de x multiplicando ambos lados por coseno cuadrada y hacemos eso entonces para obtener que deje en de x es igual coseno del elevado al cuadrado y como nos ha pasado en vídeos anteriores esto no nos sirve pues tenemos de jane de x como una función de y cuando en realidad la necesitamos como una función de x lo que tenemos que hacer ahora es expresar esto de alguna manera como tangente de y pues ya sabemos que tangente de iu es igual a equis así es que vamos a reescribir esto usando identidades trigonométricas para posteriormente sustituir en vez de tangente de x veamos cómo hacemos eso aunque esto no parece inmediato sabemos qué tangente de jesse no sobre coseno pero como introducimos aquí tangente pues sólo tenemos simplemente coseno de y se me hace que para este vídeo vamos a requerir más experimentación de lo que hicimos en los dos ejemplos anteriores algo que podemos hacer es dividir entre 1 dividir entre 1 nunca afecta una expresión así es que vamos a dividir entre 1 así es que esto lo puedo escribir como coseno cuadrado de ella y esto estoy haciendo para escribir esto como una expresión racional esperando que en algún momento dado obtenga seno sobre coseno que permita sustituirlo por tangente así es que dividimos entre 1 y aquí podemos aplicar la identidad pitagórica 1 es igual a seno cuadrado de y más coseno cuadro de y esto es entonces coseno cuadrado de i + seno cuadrado de y de nueva cuenta esto lo puedo hacer pues esta y la identidad pitagórica que surge esencialmente del círculo unitario donde se definen todas las funciones trigonométricas esto es igual a 1 no he cambiado el valor de la expresión lo que es interesante aquí es que si requiere un seno dividido entre un coche no lo que puedo hacer es dividir numerador y denominador entre coseno cuadrado de y hagamos eso dividimos entonces el numerador entre coseno cuadrado de iu y dividimos el denominador entre coseno cuando deje o multiplicamos por uno entre coseno cuando del numerador y denominador y que obtenemos en el numerador coseno cuadro de y entre en el cuadro de y nos da 1 y en el denominador coseno cual de gente con seno cuando llenos da uno más seno cuadrado de i seno cuadrado del sobre sobre coseno cuadrado de y sobre coseno cuadrado de y que era lo que queríamos queríamos se nos sobrecoge no aquí tenemos en ecuador de jets sobre coseno al cuadro de iu y esto es lo mismo que vamos a ponerlo en la siguiente manera déjame escribir esto de la siguiente manera para que lo veamos más claramente esto lo mismo que seno de iu sobre coseno de iu y todo esto elevado al cuadrado ahora sí esto es igual a uno sobre uno más seno de iu sobre coseno de yes tangente del elevado al cuadrado esto es igual a esto y eso porque es útil bueno sabemos qué tangente de iu es igual a equis así es que esto va a ser igual esto va a ser igual a a 1 sobre 1 + tangente de jacques x 1 + x elevado al cuadrado lo cual es realmente emocionante ya hemos calculado la derivada de ye con respecto a x así es que la derivada de esto con respecto a x es igual a 1 sobre 1 + x cuadrada escribamos eso acá arriba la derivada con respecto a x de la tangente inversa de x es igual a 1 + 1 sobre x cuadrada y así hemos concluido