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Transcripción del video

un problema clásico de diferenciación implícita es este cuando tenemos que james que es igual a x elevado a la equis y entonces definir cuál es la derivada de con respecto a x y cuando ven esto de x elevado a la x como esta potencia no es una constante pues no se sabe qué regla de potencia es elegir el truco aquí es bastante simple es realizar el logaritmo natural en ambos lados de esta igualdad y esto lo desarrollaremos un poquito más adelante en el vídeo si sacan el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación vamos a tener logaritmo natural de jay es igual a logaritmo natural de x a la x ahora nuestra regla de potencias o las reglas del logaritmo natural nos dice que si tengo algo elevado a otro algo va a ser equivalente a voy a reescribir este logaritmo natural de x a la x como x por el logaritmo natural de x así que vamos a reescribir todo esto de nuevo al tomar el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación logaritmo natural de igual ahora x logaritmo natural de x y ahora podemos tomar la derivada con respecto a x en ambos lados de esta ecuación aquí en ambos lados y ahora vamos a aplicar la regla de la cadena la regla de la cadena nos dice que cuál es la derivada de esto con respecto a x pues va a ser la derivada de nuestra función interna con respecto a x es una diferenciación implícita con respecto a x multiplicada por la derivada de todo esto con respecto a esta función interna por ejemplo logaritmo natural de x es 1 / x así que logaritmo natural de lleva a ser 1 entre el organismo natural de ye con respecto a lleva a ser 1 / i y esto es igual a la derivada de esto que es la regla del producto y que voy a cambiar colores aquí arbitrariamente es la derivada del primer término 1 por el segundo término el logaritmo natural de x más la derivada del segundo término que es 1 / x ahora el primer término que es x y así tenemos con respecto a x x 1 / y que es igual a logaritmo natural de x + x entre x es 11 y ahora multiplicamos ambos lados por jay y nos queda la derivada de que con respecto a x es igual a ye por el logaritmo natural de x + 1 y si no les gusta estar aquí se pueden ser la sustitución ya que es igual a x elevado a la x así que podemos sustituir esta derivada de con respecto a x es igual a x elevado a la x x logaritmo natural de x más 1 y es un problema bastante divertido de realizar y a veces lo ponen como un problema con truco o como un problema extra para realizar pero nos han dado un problema todavía más difícil y es lo que vamos a realizar a continuación pero les quise mostrar este problema resuelto primero porque nos da las herramientas básicas para resolver el siguiente así que este problema difícil que vamos a resolver es este el problema es es igual a x elevado a la equis se hubiese elevado a la equis así que tenemos que encontrar la derivada de ye con respecto a x bueno para resolver esto decimos que vamos a usar las mismas herramientas que vimos en el ejemplo anterior usar el logaritmo natural en ambos lados para descomponer este problema y dejarlo en términos con los que podemos trabajar así que vamos a usar la regla del producto hacemos el organismo natural en ambos lados de esta ecuación igual que la vez pasada el logaritmo natural de ye que es igual a el logaritmo natural de x elevado a la x a la x así que aplicamos esto podemos reescribirlo como x a la x x el logaritmo natural de x no esta expresión queda simplificada como el logaritmo natural de g que es igual a equis a la equis por el logaritmo natural de x pero aún tenemos esta x a la equis aquí en medio frita ya que no sabemos una forma fácil para hacer la derivada de esta parte pero me acabo de dar cuenta que ya antes en este vídeo he resuelto cuál es la derivada de x a la x así que lo puedo simplemente sustituir aunque podría también aplicar de nuevo logaritmo natural de todo esto pero esto ya lo hice antes de hecho lo vemos y aquí está es esto de acá así que simplemente nos acordamos esto y los objetivos aquí vamos a resolver entonces nuestro problema y fíjense curiosamente ya habíamos resuelto esto con anticipación es un beneficio extra de haber hecho este ejemplo previo aunque como les digo podríamos seguir aplicando logaritmo natural en ambos lados aunque sería quizás un poquito complicado pero ya tenemos esto así que pues para que complicarnos más la vida la derivada en ambos lados de la ecuación con respecto a x y la derivada con respecto a x de esto esto lo tachamos la derivada de eso con respecto a x la derivada del logaritmo natural de y con respecto a g 1 / i x la derivada de g con respecto a x con respecto x la regla de la cadena y todo esto va a ser igual la derivada del primer término multiplicado por el segundo término bueno lo voy a escribir para no obviar pasos aquí derivada con respecto a x de el primer término x al x x el algoritmo natural de x más la derivada con respecto a x de el logaritmo natural de x x x a la x vamos a resolver esto cuál es la derivada de x a la x bueno es lo que ya resolvimos anteriormente aquí es x a la x por el algoritmo natural de x1 lo escribimos aquí vamos a hacerlo en otro color esto de aquí se me olvidó que era gay xx laborismo natural de x 1 x la x x el logaritmo natural de x + 1 y lo vamos a multiplicar por el logaritmo natural de x y logremos natural de x y vamos a sumarle esto y la derivada de logremos natural de x que eso es bastante directo 1 / x x x alaix x a la x y por supuesto el lado izquierdo de la ecuación es uno entre gente de x multiplicamos ambos lados de esta cuestión porque nos queda de ella entre de x con respecto a x es igual a x todo esto xx por el logaritmo natural de x + 1 por el logaritmo natural de x + 1 1 / x x x elevado en la equis pero esto de aquí es x a la menos 1 así que podemos reescribir todo esto como x a la x menos 1 si no les gusta esta y podemos sustituir la por lo que tenemos aquí ya sabemos que es igual a x elevado a la x a la x así que nuestra solución final para este problema que por un lado pareciera muy sencillo pero cuando nos damos cuenta de lo que implica se nos hace muy complicado nos queda como la derivada de y con respecto a x igual allí que ya es esto nos suscribimos x elevado a la x a la x x todo esto le voy a poner otro color x x ala x por el logaritmo natural de x + 1 por lo mismo natural de x x elevado a la x menos 1 así que vas a quien lo hubiera dicho a veces las matemáticas son muy elegantes cuando hacen la derivada de algo obtienen un resultado muy bonito como la derivada del logaritmo natural que si fuera logaritmo natural de x el resultado es 1 / x que es bastante simple y elegante pero a veces tratamos de hacer la operación de algo que luce bastante sencillo y obtenemos este tipo de resultados medio locos pero este fue un problema bastante interesante