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Contenido principal
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Transcripción del video

un problema clásico de diferenciación implícita es éste cuando tenemos que llegue que llegue es igual a x elevado a la x y entonces definir cuál es la derivada de ye con respecto a x y cuando ven esto dx elevado la x como esta potencia no es una constante pues no se sabe qué regla de potencias elegir el truco aquí es bastante simple es realizar el organismo natural en ambos lados de esta igualdad y eso lo desarrollaremos un poquito más adelante en el video si sacan el organismo natural de ambos lados de esta ecuación vamos a tener lugar y material de llegue es igual al organismo natural de x sala x ahora no se arregla de potencia o las reglas del organismo natural nos dice que si tengo algo elevado a otro algo va a ser equivalente a voy a reescribir este organismo natural de x a la x como x por el organismo natural bx así que vamos a reescribir todo esto de nuevo al tomar el ritmo natural en ambos lados de la ecuación logremos natural de ye igual ahora x logaritmo natural de x y ahora podemos tomar la derivada con respecto a x en ambos lados de esta ecuación aquí en ambos lados y ahora vamos a aplicar la regla de la cadena la regla de la cadena nos dice que cuál es la derivada de esto con respecto a x pues va a ser la derivada de nuestra función interna con respecto a x es una diferenciación implícita the eye con respecto a x multiplicada por la deriva de todo esto con respecto a esta función interna por ejemplo logramos natural de xe suelo / x así que logremos natural de lleva a ser uno entregue el organismo natural dice con respecto a lleva a ser uno entre ji y eso es igual a la deriva de esto que es la regla del producto y que voy a cambiar colores aquí arbitrariamente es la derivada de el primer término uno por el segundo término logaritmo natural de x más la derivada del segundo término que es uno entre x por el primer término que es x y así tenemos de llegue con respecto a x x 1 entregue que es igual a logaritmo natural de x mas x / x es uno más uno llega multiplicamos ambos lados porque y nos queda a la deriva de que con respecto a x es igual a jie por el logaritmo natural de x + 1 y si no les gusta estalle aquí se puede ser la sustitución ya que llegue es igual a x elevado a la x así que podemos sustituir a esto deriva de llegue con respecto a x es igual a x elevado la x x logaritmo natural de x más una y es un problema bastante divertido de realizar y a veces lo ponen como un problema con truco o como un problema extra para realizar pero nos han dado un problema todavía más difícil y es lo que vamos a realizar a continuación pero les quisimos traer este problema resuelto primero porque nos da las herramientas básicas para resolver el siguiente así que este problema difícil que vamos a resolver es éste el problema es que llegue es igual a x elevado a la x a su vez elevado la x así que tenemos que encontrar la derivada de chile con respecto a x para resolver esto dijimos que vamos a usar las mismas herramientas que vimos en el ejemplo anterior usar el organismo natural en ambos lados para descomponer este problema y dejarlo en términos con los que podemos trabajar así que vamos a usar la regla del producto hacemos el ritmo natural en ambos lados de esta ecuación igual que la vez pasada logaritmo natural de llegue que es igual al organismo natural de x elevado a la x a la x así que aplicamos este podemos reescribirlo como x a la x x el organismo natural de x ahora nuestra expresión clasificada como el logaritmo natural dj que es igual a ekiza la x por el logaritmo natural de equis pero aún tenemos esta x sala x aki medio feita ya que no sabemos una forma fácil para hacer la deriva de esta parte pero me acabo de dar cuenta que ya antes en este vídeo he resuelto cuál es la derivada de x sala x así que no puedo simplemente sustituir aunque podría también aplicar de nuevo logaritmo natural de todo esto pero eso ya lo hice antes de hecho lo vemos y aquí está estoy acá así que simplemente nos acordamos estoy los últimos aquí vamos a resolver de entonces nuestro problema y fíjense curiosamente ya habíamos resuelto esto con anticipación es un beneficio extra de haber hecho este ejemplo previo aunque como le dijo podríamos seguir aplicando lo vemos natural en ambos lados aunque sería quizás un poquito complicado pero ya tenemos esto así que para qué complicarnos más la vida tomamos la derivada en ambos lados de la ecuación con respecto a x y la derivada con respecto a xe esto esto lo tachamos la derivada de este respecto x la deriva del organismo natural de ye con respecto a ye 1 entre gge x la deriva de llegue con respecto a x de yen con respecto x la regla de la cadena y todo esto va a ser igual a la deriva del primer término x el segundo término no bueno voy a escribir para no obviar pasos aquí derivada con respecto a xd el primer término xl x x el ritmo natural de x más la derivada con respecto a xd el logaritmo natural de x x x sala x vamos a resolver esto cuál es la derivada de ekiza la x bueno es lo que ya tuvimos anteriormente aquí ése quizá la x por el laborismo natural de x más una que escribimos aquí vamos a hacerlo en otro color estoy aquí si me olvidó que era aquella xrx laborismo natural de x + 1 x la x por el organismo natural de x + 1 y lo vamos a multiplicar por el laborismo natural de x logremos natural de x y vamos a sumarle esto y la deriva de logremos natural de x que es bastante directo uno / x x x alaix x la x y por supuesto el lado izquierdo de la ecuación es uno entre yeah yeah yeah dx multiplicamos ambos lados de esta ecuación por gem nos queda de llegue entre de x o te lleve con respecto a x es igual h x todo esto x sala x por el organismo natural de x + 1 por el organismo natural de x más un 1 entre x x x elevado la x pero estoy aquí es x a la menos sólo así que podemos escribir todo esto como x a la x - sólo si no les gusta esta calle podemos sustituir la por lo que tenemos aquí ya sabemos que llegue es igual a x elevado a la x a la x así que nuestra solución final para este problema que por un lado pareciera muy sencillo pero cuando nos damos cuenta de lo que implica que no se hace muy complicado nos queda como la derivada de jay con respecto a x igual ayer que ya es esto nos escribimos x elevado a la x a la x x todo esto lo voy a poner a otro color x x a la x por el logaritmo natural de x + 1 por los ritmos natural de x mas x elevado a la x menos una así que vaya quién lo hubiera dicho a veces las matemáticas son muy elegantes cuando hacen la deriva de algo tienen un resultado muy bonito como la derivada del logaritmo natural que si fuera logremos natural de x el resultado es uno entre x que es bastante simple y elegante pero a veces tratamos de hacer la operación de algo que luce bastante sencillo y obtenemos este tipo de resultados medio locos pero éste fue un problema bastante interesante