Ejemplo resuelto: diferenciación de funciones exponenciales compuestas

digamos que tenemos la función que es igual a y me tomo la función logaritmo natural de x y todo esto lo elevó a la potencia x imagínate esta función y lo que queremos hacer es encontrar la derivada de james con respecto a x así que te invito a pausar este vídeo y ver si puedes lograrlo bien cuando intentas abordar este tipo de problemas puede ser que sea un poco intimidante porque sabemos sacar la derivada de una constante a la potencia x pero como sacamos la derivada de algún tipo de función en este caso la función es logaritmo natural de x esto a la potencia x y bueno la respuesta es que vamos a usar algunas propiedades de los logaritmos y luego vamos a hacer un poco de diferenciación implícita así que qué te parece un poquito esto y voy a tomarme un poco más de espacio para que todo salga perfecto así que voy a poner porque nuestra función que era logaritmo natural de x esto lo tenemos elevado a la potencia x recuerdas bueno y lo primero que voy a hacer es intentar deshacerme de esta x como exponente y ya que lo hagamos vamos a ser capaces de aplicar la regla del producto de alguna manera y la forma en la que puedo quitar esta x como exponente es aplicando la función logaritmo natural de ambos lados el logaritmo natural de esto es igual a logaritmo natural de todo esto que tenemos aquí y seguramente te estás preguntando bueno porque esto podría ser útil y es que si estoy sacando el logaritmo natural de algo que está elevado a un cierto exponente entonces esto va a ser igual si recuerdas una de las propiedades de los logaritmos puede ser que la recuerdes puede ser que no pero hay una propiedad básica de los logaritmos que dicen que el logaritmo natural o bueno puede ser el logaritmo de algo elevado a una cierta potencia esto va a ser igual a la potencia por el logaritmo natural de en este caso a bueno es sólo una propiedad de los logaritmos estándar y esta propiedad nos va a ayudar a escribir esto de la siguiente manera si sacamos el logaritmo natural de ambos lados entonces este exponente de aquí puede llegar al frente y escalar todas esta función entonces tendríamos el logaritmo natural déjame ponerlo con este color el logaritmo natural de 100 lo voy a poner con su respectivo color esto va a ser igual y ahora voy a poner primero esta x por esta propiedad de los logaritmos a x veces quien bueno x veces el logaritmo natural de de esta expresión que tenemos adentro de el logaritmo natural de x de el logaritmo natural d bien y seguramente se sigue preguntando bueno amigo pero cómo va a ser esto realmente útil para nosotros y es que ahora podemos hacer una diferenciación implícita sacar la derivada con respecto a x de ambos lados así que para eso déjenme mover un poco esto que tengo aquí para poder poner la diferenciación implícita lo voy a mover un poco para acá para tomarnos la derivada con respecto a x de ambos lados entonces voy a sacar la derivada con respecto a x este lado y voy a hacer lo mismo para este otro lado voy a sacar la derivada con respecto a x de todo esto ok ahora bien del lado izquierdo si observas esta parte de aquí lo único que tenemos que hacer es aplicar la regla de la cadena porque cuando aprendes la diferenciación implícita es sólo una aplicación de la regla de la cadena es la derivada de la función de afuera en este caso el logaritmo natural de jeff con respecto a la función de adentro que es entonces la derivada de el logaritmo natural de james con respecto a james es uno entre entre james ya esto hay que multiplicarlo por la derivada de la función interior esto con respecto a x lo cual me va a dar la derivada de james con respecto a x ahora que tenemos del lado derecho del lado derecho tengo está derivada que tengo aquí simplemente hay que aplicar la regla del producto vamos a tomarnos la derivada con respecto a x de x de la primera expresión lo cual bueno es simplemente 1 la derivada de que son respecto x es 1 por la segunda función la cual es el logaritmo natural de bueno de el logaritmo natural de x de el logaritmo natural de x y a esto hay que sumarle a esto hay que sumarle la primera función tal cual que multiplica a la derivada de la segunda función o de la segunda expresión así que nosotros queremos saber cuánto es esta derivada déjame ponerlo aquí quiero saber cuánto es la derivada con respecto a x de el logaritmo natural de el logaritmo natural de el logaritmo natural de x el logaritmo natural de x y bueno cuánto va a ser la derivada de el logaritmo natural de el lugar y natural de x bueno pues esto es simplemente aplicar la regla de la cadena de nuevo esto me va a quedar igual y primero tengo la derivada de el logaritmo natural con respecto a la función interior entonces me va a quedar 1 entre esta función 1 entre el logaritmo natural de x el logaritmo natural de x ok y esto a su vez hay que multiplicarlo por la derivada de la función interior y la derivada de el logaritmo natural de x que es muy fácil es uno entre x así que esto va a ser igual y ahora lo voy a poner con este color 1 / x por el logaritmo natural de x muy bien ahora puedo decir que la derivada de todo esto que tenemos aquí es lo mismo que 1 / x por el logaritmo natural d muy bien y cómo se están multiplicando está x y está x se cancelan y nos vamos a quedar con dejen de utilizar este color para todos nos vamos a quedar con esta parte es lo mismo que uno entre y que multiplica a la derivada de james con respecto a x ok y toda esta parte es lo mismo que bueno el logaritmo natural de el logaritmo natural de x muy bien a esto a su vez hay que sumarle uno entre el logaritmo natural de x muy bien y ahora para resolver para la derivada voy a multiplicar de ambos lados por jeff voy a multiplicar de este lado por james y también de este lado porque de tal manera que esta hierba y estalle se cancelan y del lado izquierdo me queda simplemente la derivada de james con respecto a x ok y del lado derecho me va a quedar bueno recuerda quién era y que era nuestra función original recuerda que james era el logaritmo natural el logaritmo natural de x esto elevado a la potencia x así que del lado derecho me va a quedar bueno déjame ponerlo así el logaritmo natural de el logaritmo natural de x ok a esto a su vez le estamos sumando 1 entre el logaritmo natural de x no voy a distribuir esta función que tenemos al final pero la voy a poner aquí esto a su vez está multiplicando el logaritmo natural de x esto elevado a la potencia x esto elevado a la potencia x y tal vez esto se vea un poco desordenado pero ya obtuvimos la derivada que buscábamos así que supongamos que la pregunta original era encuentra la derivada de james con respecto a x no sé y se me ocurre poner en x igual a ok estoy tomando este valor para que podamos sustituirlo justo aquí en la expresión a la que llegamos y entonces en lugar de x voy a poner a m así que aquí me va a quedar y aquí me va a quedar y aquí me va a quedar y aquí también me va a quedar y estoy utilizando este valor de él porque es un valor fácil de evaluar entonces me quedaría el logaritmo natural de m bueno esto es lo mismo que uno y después tengo el logaritmo natural de uno bueno he elevado a la potencia cero es 1 así que todo esto me va a dar 0 más y aquí tengo el logaritmo natural de m esto ya dijimos que es 11 entre 1 es1 ok entonces de todo esto de todo esto de aquí me quedan simplemente 1 ok ya esto lo voy a multiplicar ok a esto lo voy a multiplicar por y bueno tengo el logaritmo natural de m esto es 1 y 1 elevado a la potencia es bueno 1 elevado a cualquier potencia es simplemente 1 así que me va a quedar uno por uno si evaluó en x igual a lo cual es 1 esa sería mi respuesta final de todo este problema es por eso que quería que evaluaremos en este valor escogí un valor bastante sencillo porque pensé que sería divertido nos vemos en el siguiente