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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es explorar la idea de sacar la derivada de una función exponencial ya hemos visto que la derivada con respecto a x de la función a la equis es lo mismo que ella misma es lo mismo que a la x lo cual es una cosa muy increíble una de las tantas cosas que hacen es bastante especial piensen que cuando tengan una exponencial con esta base como en la derivada es esto mismo la pendiente en cualquier punto es igual al valor de esa misma función pero ahora vamos a empezar a analizar la derivada cuando tengamos otras bases de alguna manera queremos encontrar cuál es la derivada con respecto a x y ahora me voy a tomar a am elevado a la x donde puede ser cualquier nombre hay alguna manera de encontrar esto y tal vez podamos obtenerla utilizando nuestro conocimiento de que la derivada con respecto a x de ea la x es ea la x habrá forma de utilizar un poco de álgebra y propiedades de los exponentes para volver a escribir esta expresión pero que en lugar de tener como base a am tengamos una expresión con base bien aquí lo importante va a ser recordar que podemos ver cómo elevado a logaritmo natural de am ahora si esto no es obvio para ustedes de verdad quiero que lo piensen un poco porque déjame ponerlo aquí cuál es el logaritmo natural de a el logaritmo natural de amd es la potencia que necesitas para elevar a m y obtener a entonces siguiendo esta lógica aquí tienes a es igual a un elevado al logaritmo natural de amd es decir aquí tengo a ha elevado a la potencia a la que tengo que elevar a para obtener am y es por eso que obtenemos aa así que en verdad piensa un poco en esto no solamente quiero que lo aceptes como un hecho de fem debería tener sentido para ti y es que esto sale realmente de la definición básica de logaritmos y ahora sí ya podemos sustituir a am con toda esta expresión de aquí si es lo mismo que el elevado al logaritmo natural de am entonces esto va a ser igual a la derivada con respecto a x elevado a su vez a la potencia logaritmo natural de amd ya esto hay que elevarlo a la potencia x y ahora usando una de las propiedades de los exponentes esto va a ser igual a am recuerdan si elevamos algo a un exponente y luego elevamos todo eso a otro exponente eso es lo mismo que elevar nuestra base original al producto de esos dos exponentes entonces esto va a ser lo mismo que la derivada con respecto a x de m elevado a la potencia logaritmo natural de am y esto por x y ahora podemos usar la regla de la cadena para evaluar esta derivada entonces lo que haremos será primero sacar la derivada de la función de afuera es decir en elevado al logaritmo natural de a por x con respecto a la función de adentro que es el logaritmo natural de am por x entonces esto va a ser igual pues ha elevado a logaritmo natural de a por x elevado a logaritmo natural de a por x y luego sacaremos la derivada de la función de adentro con respecto a x y tal vez de manera inmediata no te saltes que el lugar es natural de am sea solamente un número pero lo es observa porque si la derivada de 3x es simplemente 3 entonces la derivada del logaritmo natural de amp por x solo va a ser el lugar y no natural de am es solamente un número así que multiplicaremos a todo esto por el logaritmo natural de a entonces esto nos va a dar el logaritmo natural de amd que multiplica ha elevado el logaritmo natural de a por equis pero lo voy a escribir haciendo lo voy a escribir como el logaritmo natural de amd por el elevado al logaritmo natural de amd y todo esto elevado a la equis y es que ahora quiero que recuerdes que todo esto que tenemos aquí es simplemente ha elevado a la equis entonces esto de aquí se va a reducir a el logaritmo natural de amd que multiplica a amd elevado a la equis lo cual es un resultado bastante estupendo entonces si estás sacando la derivada de la x eso será solamente a la equis pero ahora sabemos que si estás sacando la derivada de ha elevado a la equis esto va a ser simplemente el logaritmo natural de amd que multiplica a la x y ahora podemos usar este resultado para sacar las derivadas de este tipo de expresiones con bases diferentes a él así que hagamos un ejemplo imagínate que queremos encontrar la derivada con respecto a x 8 por 3 elevado a la equis a que será esto bueno pues esto va a ser igual a 8 por la derivada de 3 elevado la equis pero si nos basamos en lo que acabamos de obtener esto va a ser igual al logaritmo natural de nuestra base es decir el logaritmo natural de 3 que multiplica a 3 elevado a la x entonces esto va a ser igual a 8 por el logaritmo natural de 3 y todo esto está multiplicando a 3 elevado a la equis