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Contenido principal
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Transcripción del video

veamos si podemos sacar la derivada con respecto a x de la raíz cuarta de x cúbica más 4x cuadrada más 7 y al principio podrías decir muy bien como saco la derivada de la raíz cuarta de algo parece que tengo una función compuesta estoy sacando la raíz cuarta de otra expresión y tendré razón si estás lidiando con una función compuesta la regla de la cadena debe ser tu foco de atención pero primero simplemente vamos a hacer esta raíz cuarta un poco más manejable recordando que la podemos ver como un exponente fraccional así que esta misma cosa que tengo aquí va a ser exactamente igual que tomarme la derivada con respecto a x y bueno en lugar de poner la raíz cuarta voy a poner x kubica x ubican más 4 x cuadrada más 7 todo esto elevado a la potencia un cuarto y quiero la derivada de esto que tengo aquí bueno como dije hace unos segundos lo que podemos usar es la idea de que ésta es una función compuesta que te parece si llamamos a todo esto a todo esto primero como no sé cómo de equis o de equis y así vamos a poder encontrar su derivada de una manera más sencilla porque aquí tengo a de x elevado la potencia un cuarto así que la manera en la que vamos a sacar esta derivada es primero sacando la derivada de estos de de x elevado a la 14 podríamos verlo como la derivada de la función externa con respecto a de x y después vamos a multiplicarlo por la derivada de 1 con respecto a así que hagamos esto entonces esto va a ser igual a la derivada de nuestra función externa que vamos a resaltar con este color a la derivada de mi función externa que es esto esto elevado a la potencia un cuarto vamos a sacar la derivada de algo que está a la 14 es decir la derivada de esto con respecto a la función interior con respecto a de x y bueno es simplemente usar la regla de las potencias voy a traer este un cuarto que tengo aquí al frente y me va a quedar uno cuarto que multiplica algo ahorita vamos a ver a que algo elevado a la potencia un cuarto un cuarto menos uno lo único que estoy haciendo es la regla de la potencia pero aquí adentro no tenía una equis tenía la función de x estoy sacando la derivada con respecto a de x con respecto a esta expresión polinómica así que déjame ponerlo aquí adentro voy a tener a x cúbica más 4 x cuadrada am + 7 y luego quiero multiplicar todo esto por la derivada del interior con respecto aa x ojo esto es simplemente aplicar la regla de la cadena estoy sacando la derivada del exterior con respecto a la función interior y después hay que multiplicarlo por la derivada de la función interior entonces cuál va a ser la derivada de de x de de x con respecto a x bueno lo podemos escribir aquí prima de x va a ser igual y observa es simplemente aplicar la regla de la potencia varias veces este 3 lo vamos a bajar y me va a quedar 3x elevado a la 3 -1 lo cual es elevarlo al cuadrado más y ahora este 2 lo voy a pasar multiplicando para que adelante y me va a quedar 8 x elevado a la potencia 2 - 1 lo cual es la potencia 1 así que podemos no ponerlo y ya está porque la derivada de 7 con respecto a x es 0 se eliminan entonces esto de aquí lo voy a multiplicar por la derivada de eeuu con respecto a x que es esto que tenemos aquí que multiplica a 3x cuadrada más 8 y bueno tal vez esto se pueda limpiar un poco porque un cuarto esto menos 1 es exactamente lo mismo que menos tres cuartos así que lo voy a poner así tenemos a esto elevado a la menos tres cuartos y ya está podríamos tratar de simplificar esto un poco pero lo importante es que te des cuenta de que acabamos de hacer la regla de la cadena eso es la clave bueno la primera cosa que hicimos fue reconocer que la raíz cuarta era exactamente lo mismo que tener esta expresión elevada a la potencia un cuarto esto es una propiedad básica de los exponentes y luego reconocer que aquí tenemos una función compuesta y como tenemos una función compuesta entonces al sacar la derivada lo que hacemos es primero sacar la derivada de lo exterior con respecto al interior la derivada del exterior con respecto al interior y después multiplicarlo por la derivada del interior con respecto muy bien así que si yo les dijera tengo la función no sé f de x es igual a la raíz cuarta de x cúbica más 4 x cuadrada más 7 y te pregunto cuánto vale efe prima de menos 3 bueno ya que tenemos la derivada de esta función que es todo esto de aquí vamos a evaluarlo en menos tres para ver que obtenemos así que permítame hacer eso me va a quedar un cuarto un cuarto que multiplica y después acá adentro me quedaría menos 3 al cubo es menos 27 + 4 x 9 esos 36 más 7 esperemos que eso funcione bien esto elevado a la potencia menos tres cuartos veamos si funciona espera menos 27 más 7 es menos 20 más 36 esto se simplifican a 16 muy bien esto va a ser bastante bueno para elevar de la potencia menos tres cuartos y después a eso hay que multiplicarlo por bueno 3 que multiplica 9 esos 27 menos 8 por 3 es 24 y esto también se simplifica 27 - 24 estrés así que vamos a simplificar un poco esto 3 por un cuarto eso es lo mismo que cuartos y después tengo a 16 y en lugar de poner todo esto primero lo voy a elevar a la potencia un cuarto y después lo voy a elevar a la potencia menos 3 estoy haciendo propiedades básicas los exponentes y ahora 16 elevado a un cuarto esto de aquí se simplifica a todos y todos bueno 2 elevado al cubo es 8 entonces 2 elevado a la menos 3 será un octavo entonces esto es lo mismo que tres cuartos 8º y esto es igual a 330 y 12 años así que ya está la pendiente de la recta tangente a la gráfica efe de x cuando x es igual a menos 3 es de 330 y 12 años