Repaso sobre la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital nos ayuda a evaluar límites de las formas indeterminadas $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction y $\dfrac{\infty}{\infty}$start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.

En otras palabras, nos ayuda a encontrar $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u(x)}{v(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, donde $\displaystyle\lim_{x\to c}u(x)=\lim_{x\to c}v(x)=0$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (o, alternativamente, donde ambos límites son iguales a $\pm\infty$plus minus, infinity).

La regla esencialmente dice que si el límite $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u'(x)}{v'(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction existe, entonces los dos límites son iguales:

Encontremos, por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction.

Sustituir $x=0$x, equals, 0 en $\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction nos lleva a la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Así, usemos la regla de L'Hôpital.

Observa que solo pudimos usar la regla de L'Hôpital porque el límite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}[7x-\sin(x)]}{\dfrac{d}{dx}[x^2+\sin(3x)]}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, close bracket, end fraction en realidad existe.

Encontremos, por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript. Sustituir $x=0$x, equals, 0 en la expresión nos lleva a la forma indeterminada $1^{^{\Large\infty}}$1, start superscript, start superscript, infinity, end superscript, end superscript.

Para simplificar el estudio de la expresión, tomemos su logaritmo natural (este es un truco común para lidiar con funciones exponenciales compuestas). En otras palabras, si $y=(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$y, equals, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript, podemos encontrar $\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis. Una vez que conozcamos su valor, seremos capaces de determinar $\displaystyle\lim_{x\to 0}y$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y.

$\ln(y) =\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

Sustituir $x=0$x, equals, 0 en $\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction nos lleva a la forma indeterminada $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction, ¡por lo que es el turno de la regla de L'Hôpital de ayudarnos en nuestra misión!

Encontramos que $\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)=2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 2, lo que significa que $\displaystyle\lim_{x\to 0}y=e^2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y, equals, e, squared.