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Contenido principal
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Transcripción del video

casi en todo lo que hemos hecho hasta ahorita en cálculo hemos usado límites a ver dejar como por aquí límites hemos usado límites para determinar derivadas de funciones derivadas de funciones de hecho la definición de derivada usa la noción del límite es la pendiente alrededor de un punto conforme tomamos puntos más y más cercanos al punto en cuestión vaya me tengo que decirte la verdad porque ya lo hemos visto muchas veces antes en este vídeo vamos a hacer lo opuesto es decir vamos a usar derivadas derivadas para encontrar límites para encontrar límites ok estos van a ser límites que caigan en ciertas formas indeterminadas y con esto de forma sin determinadas me refiero a que al tomar el límite acabamos con algo del estilo pues 12 0 entre 0 o bien algo del estilo infinito entre infinito o bien en los infinitos entre infinito o vaya a cualquier cosa del estilo más menos infinito entre más menos infinito cualquiera de éstas es una forma indeterminada vale ahora sí vamos a la nueva herramienta para resolver este tipo de límites usar una cosa que se llama la regla del hospital voy a poner aquí lo y tal la regla de el hospital en este vídeo lo que quiero contarte es que dice la regla del hospital y cómo se usa en realidad es muy sencilla pero es una herramienta súper poderosa incluso para competencias de cálculo a veces te ponen límites que acaban en una de estas formas de las de acá y es casi seguro que quieren que utilice es lo vital pero bueno tiene una prueba muy difícil quizás en otro vídeo la demuestre lo cual es un poco más la toso pero ahorita nos limitaremos a las aplicaciones que son bien directas entonces lo que dice la regla del hospital es lo siguiente dice son varias hipótesis fíjate número uno lo voy a poner todo muy abstracto y ahorita cuando veamos algunos ejemplos va a quedar más claro pero entonces dice que si el límite de cuando x tiende a c de fx es igual a cero si es igual a 0 el límite de cuando x tiende a se deje de x es igual a 0 también y otra cosa más esta es otra hipótesis además el límite de cuando x tiende a ser de un cociente de f prima de x entre g prima de x es igual a cierta constante es decir existe y es igual a l entonces si todas estas condiciones o bien hipótesis se satisfacen en el caso 0 entre 0 si se satisfacen entonces entonces podemos decir que el límite de cuando x tiende a c de fx entre g de x es igual también a l vale entonces es igual a l esto de aquí puede parecer un poco extraño pero bueno ahorita voy a escribir los otros casos y después vamos a hacer algunos ejemplos para que todo quede más claro va entonces este de aquí es el primer caso vale ahorita voy a hacer un ejemplo en un ratito para fijar las ideas pero por el momento vamos al caso número 2 cuando el límite de cuando x tiende a c de fx es igual a más menos infinito vale este es el otro caso entonces estamos pidiendo eso y luego pedimos también que el límite de cuando x tiende a se deje de x sea igual a más menos infinito y la misma hipótesis de acá arriba o sea también pedimos que y otra vez vamos a poner algo en términos de una fracción entonces el límite de cuando x tiende a c df prima de x dividido entre g prima de x existe y es igual a l entonces podemos hacer la misma conclusión es más como va a ser la misma misma conclusión pues voy a copiarla y pegarla entonces voy a seleccionar esto me voy a cada edición copiar y luego edición pegar a esta sale esto de aquí es la conclusión que nos da la regla de lopito ok entonces la situación típica para usar el hospital es la siguiente digamos vamos a caso de cero entre 0 nos piden encontrar el límite de este cociente para cuando x tiende a c pero tenemos una f que se va hacer o cuándo x tiende a c y una g que también se va a hacer o cuando x tiene hace entonces si estas dos se van a cero y nos encontrar digamos el límite del cociente lo que vamos a hacer es considerar el límite del cociente de las derivadas y vamos a calcular su límite de cuando x tiende a c si ese límite existe y es igual a l entonces el límite del cociente normalito también existe y es igual a l aquí abajo también pasa algo parecido cuando tenemos infinito entre menos infinito o menos infinito entre finito o cualquier combinación vale de infinitos entonces estás de acá son las dos formas indeterminadas que vamos a tratar va ahora si salgamos de la abstracción y vayamos a un ejemplo para que todo quede mejor explicado entonces supongamos que queremos determinar vamos a poner un ejemplo y lo voy a hacer con otro color como morado entonces vamos a buscar el límite de cuando x tiende a cero de seno b x dividido entre x ok entonces si simplemente vemos esto e intentamos evaluar es este límite en x igual a 0 verdad conforme nos acercamos a 0 pues que es algo del estilo 0 entre 0 porque el seno de 0 es igual a 0 o bien el límite de cuando x tiende a 0 x es igual a cero y pues del mismo modo cuando aquí se va a cero pues aquí también se va a cero verdad entonces esta es la forma indeterminada ahora esto de aquí la fx pues va a ser seno de x efe de x y la gtx pues va a ser aquí la gtx va a ser igual a x entonces aquí le pongo cd x es igual a equis y fx es igual a seno de x muy bien ahora observa pues definitivamente ya sabemos que se cumplen las primeras dos condiciones verdad aquí se es igual a cero pero cuando aquí se va a cero entonces seno de x es cero esa es la primera hipótesis y el modo similar pues que de aquí también se va a hacer o cuando x se va 0 entonces tenemos la forma indeterminada pues correspondiente pero vamos a ver qué pasa con las derivadas vale vamos a tomar el límite del cociente de las derivadas conforme x se va a 0 y vamos a ver qué sucede vamos a ver si el límite del cociente de las derivadas existe entonces lo voy a hacer pues digamos azul va entonces voy a escribir las derivadas de las dos funciones por aquí efe prima de x es igual a 7 s de x f prima es la derivada de seno es cosa de x eso ya lo hemos visto varias veces verdad y sigue de x es igual a x entonces que prima es súper fácil verdad simplemente nos queda 1 entonces vamos a intentar encontrar el límite del cociente de las derivadas el límite de cuando x tiende a cero de f prima de x entre g prima de x vale entonces eso va a ser igual a jose no de x / / / 1 bar y que sucede con este límite el 1 europeo sobre 1 y qué sucede con este límite cuando x se va a cero pues conforme x se va a 0 coseno de x se va a 1 y entonces el límite nos queda 1 pues aquí le voy a poner dividido entre 1 voy a escribir el resumen de esto acá a la derecha lo que acabamos de ver es que el límite de cuando x tiende a pues nuestra se vale 0 verdad entonces cuando extiende a 0 df prima de x dividido entre g prima de x es igual a 1 este límite existe y es igual a 1 entonces ya satisfacemos todas las hipótesis del caso 0 entre 0 cuando x base fx es igual a 0 el límite de cuando x tiende a ser eje de x también es igual a 0 y el límite de cuando x tiende a cero de f prima de x entre g prima de x o sea que nos quedaba coseno de x entre 1 ya vimos que es igual a 1 así pues todas estas tres condiciones o bien estas tres hipótesis se cumplen y las reglas del hospital nos permite a esta conclusión entonces el límite cuando x tiende a cero de seno de x dividido entre x es igual a 1 es igual a 1 porque debe tomar el mismo valor que el límite del cociente de las derivadas de cuando x tiende a 0 este fue un ejemplo de 0 entre 0 en los siguientes vídeos vamos a ver ejemplos de las otras formas indeterminadas para fijar todavía más las ideas