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La regla de L'Hôpital: despejar una variable

En este video usamos la regla de L'Hôpital para encontrar el valor de a en la expresión (√(4+a)-√(4-ax))/x de tal forma que su límite en 0 sea ¾.

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  • Avatar leafers sapling style para el usuario Tatinillo1
    como le hago si quiero sacar el limite de una funcion que normalmente se saca por divicion sintetica
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
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Transcripción del video

aquí tenemos un ejercicio interesante dice encuentra a tal que el límite cuando x tiende a 0 de la raíz cuadrada de 4x menos la raíz cuadrada de 4 menos a por x todo esto sobre x es igual a 3 sobre 4 y bueno como siempre te invito a que lo intentes a que pongas pausa el vídeo entonces bueno observa observa lo siguiente cuando evaluamos el límite superficialmente y x si x se aproxima a cero si evaluamos en x igual a cero obtenemos lo siguiente lo voy a escribir acá tenemos el límite cuando x tiende a cero lo vuelvo a escribir de 4 más x la raíz de eso menos la raíz de 4 menos a x todo esto sobre x ok evaluando con x igual a cero entonces bueno tenemos aquí la raíz de 4x pero si x es igual a 0 entonces solamente tenemos la raíz de 4 ahora acá igualmente tenemos 4 menos a equis pero x es igual a 0 entonces tenemos la raíz de 4 así que aquí tenemos la raíz de 4 y acá la raíz de 4 así que esto esto es igual a 2 y también esto es igual a 2 ahora nos queda dos menos 2 eso es igual a 0 y x es igual a 0 entonces tenemos esta forma indeterminada 0 sobre 0 muy bien entonces bueno cuando tú tienes algo de esta forma piensas en la regla del hopital ajá si obtiene 0 sobre 0 infinito sobre infinito entonces tenemos aquí el límite cuando x tiende a 0 de la derivada del numerador sobre la derivada del denominador ahora cuál es la derivada del numerador bueno bueno bueno aquí primero voy a hacer la derivada del denominador porque bueno yo sé que la derivada de x con respecto a x eso eso es igual a 1 así que ahora vamos con la derivada de él el numerador entonces voy a derivar el numerador esto de arriba muy bien ok entonces bueno tomando la derivada de esto con respecto a x tengo 4 + x elevada a la un medio eso es igual a un medio por 4x elevado a la menos un medio ahora la derivada de esto aplicando la ley de la cadena lo que obtengo es esto es más que multiplica a un medio y que multiplica a 4 a 4 menos a por equis aja menos por equis elevado a la menos un medio elevado a la menos un medio así que bueno ya derivamos el numerador y el denominador entonces esto esto a que a que es igual esto es igual es igual a algo sobre 1 porque tengo aquí este 1 así que mientras x tiende a cero esto es igual a 4 0 es 4 a la menos un medio es un medio y mientras x tiende a 0 aquí también obtengo un medio entonces bueno simplificando esto tengo un medio por un medio eso es un cuarto luego aquí tengo tengo a que multiplica a un medio por un medio eso que me da eso es igual a sobre 4 entonces más a sobre 4 lo cual es igual esto esto es igual a 1 sobre 4 pero bueno recuerda que dijimos el problema original era que esto debía ser igual a 3 sobre 4 entonces bueno ya es fácil cierto a más uno debe ser igual a tres por lo tanto por lo tanto tenemos que a es igual a 2 y terminamos