Demostración de un caso especial de la regla de L'Hôpital

lo que quiero abordar en este vídeo es un caso especial de la regla del hopital que es un un caso más restringido de la de la regla en general que ya habíamos visto regla d el hospital y tiene este acento gracioso típico del francés y entonces decíamos que vamos a hacer un caso especial un caso especial de la forma general que ya teníamos y la razón por la cual nos vamos a enfocar o vamos a ir encima de este caso es porque su demostración es muy directa y te dará mucha inclusión de porque la regla del hopital funciona entonces vamos a partir con estas siguientes hipótesis donde efe a una función f evaluado en un punto es 0 y además vamos a pedirle que su derivada exista o no que sea igual que exista existe muy bien y vamos a pedir también una función g una función g que evaluado en el mismo punto a sea 0 y que también su derivada evaluada en a exista existe entonces si todas estas restringe restricciones porque al final de cuentas este caso especial es justamente especial porque tiene más restricciones está restringido a estas a estas condiciones si tenemos eso entonces podemos concluir que el límite el límite cuando x tiende al punto a d vamos a ponerlo así f x sobre gx perdón sobre gx va a ser igual también a un cociente y de hecho por eso le pedimos que existiera va a ser el cociente entre f prima de a y que prima de a ok entonces esto va a ser muy sencillo de demostrar por eso es que vamos a utilizar este caso especial y de hecho vamos a partir de este lado derecho para llegar al lado izquierdo como vamos a empezar pues partiendo de la definición de lo que es una derivada y recordemos entonces que f prima evaluado en a no es otra cosa más que el límite el límite cuando x se aproxima de fx - efe de a sobre x menos a y sólo a modo de recuerdo esto a final de cuentas lo que me está dando es una aproximación dependiente es verdad de la pendiente de la gráfica la pendiente perdón de la recta tangente a la gráfica de una función por ejemplo si aquí está mi gráfica de la función y aquí tengo el punto y coma efe de ok y aquí tengo el punto x fx entonces lo que me está calculando este cociente es la pendiente de esta recta que aproxima que conecta estos dos puntos por supuesto que si estamos aproximando a equis o más bien x lo estamos aproximando a esto cada vez se va apareciendo más a la pendiente de la recta tangente muy bien y ahora si dividimos todo esto entre eje de prima de a si dividimos todo entre primavera pues será dividir esto entre el límite cuando x se aproxima deje x - g de a sobre x menos a y esto es el cociente que tenemos que calcular verdad y por supuesto como tenemos el cociente de los dos límites que tienden al mismo lugar esto es lo mismo que el límite esto es lo mismo que el límite cuando x tiende a de estos cocientes verdad de fx a ponerlo así fx - efe de a sobre x menos a y abajo vamos a poner solo gdx menos idea sobre x menos a entonces para simplificar esta expresión lo que vamos a hacer es multiplicar arriba y abajo por x menos a aunque entonces hacemos esta multiplicación y lo que queda aquí es que x menos a entre x menos a esto se cancelan y éste se cancela con este de acá abajo entonces al final lo que me queda es simplemente el límite cuando x se aproxima de fx menos efe y quizás ya te está valiendo hacia dónde vamos a llegar pero voy a dejarlo con el mismo color para que no haya ningún problema fx menos efe todo esto sobre gx gx - cda y esto es muy sencillo ya ya prácticamente estamos aquí porque ahora tomamos la hipótesis inicial que de fedea y gba son 0 es decir en a se anulan ok entonces 100 ac anulan estos dos valen 0 valen 0 y sólo me queda entonces el límite el límite cuando extiende a de fx fx acá arriba sobre sobre qué de equis así que acabamos de mostrar que si las dos funciones efe se anulan en el punto a es decir valen cero en y que además sus derivadas en el punto a existen pudimos demostrar que el cociente de estas derivadas es igual al límite cuando x se aproximada de las funciones efe sobre g de la función f sobre que así que es una prueba muy directa para este caso especial de lo que es la regla del hopital