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Linealidad local y diferenciabilidad

Intuición sobre cómo la linealidad local se relaciona con la diferenciabilidad por medio de la calculadora gráfica Desmos.

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Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es explorar la relación que existe entre el concepto de linealidad local en un punto y el concepto de diferencia habilidad en un punto así que la linealidad local es la idea de que si hacemos un acercamiento suficiente en un punto dado aunque sea una función no lineal pero ojo que sea diferenciable en ese punto ha dado este acercamiento haga parecer que se vea lineal así que déjame enseñarte algunos ejemplos primero pensemos en la función y es igual a x cuadrada aquí la tenemos y claramente no es una función lineal pero podemos hacer un acercamiento a un punto y si nos acercamos lo suficiente vamos a poder observar que parece más o menos lineal así que vamos a hacerlo imagina que queremos hacer el acercamiento en el punto 1,1 vamos a hacerlo vamos a acercarnos al punto 11 tanto que parezca más o menos lineal en ese punto y observa aquí esta es que esta propiedad de linealidad local es muy útil cuando estamos intenta aproximar una función alrededor de ese punto así que por ejemplo podemos tomar la derivada en el punto 11 usar esa derivada como la pendiente de mi recta tangente encontrar la ecuación de mi recta tangente y usar esa ecuación para aproximar los valores de mi función alrededor de x igual a 1 y tal vez pienses que no es muy útil para una función como x cuadrada pero puede ser muy muy útil para una función mucho más compleja pero bueno lo más importante aquí en el punto 11 es que observes esta idea de linealidad local y que también es diferenciable en ese punto ahora veamos otro ejemplo de una función que no sea diferenciable en un punto y que tampoco veamos una linealidad local así que por ejemplo tomemos el valor absoluto de x pero déjenme desplazarlo un poco para que nos encima con la otra gráfica así que pensemos en el valor absoluto de x menos 1 de hecho ésta es una función diferenciable en todo los puntos excepto en esta esquina que se forma aquí en todos excepto en el punto 10 para cualquier otro valor es diferenciable pero en x igual a 1 no es diferenciable y ya hemos hablado de esto en otros vídeos y podemos usar esta idea de linealidad local como una prueba de diferencia habilidad y una vez más esto no son matemáticas muy rigurosas pero nos da una buena intuición observa no importa qué tanto nos acerquemos seguimos viendo esta esquina filosa es imposible construir una única recta tangente que pase por este punto por el punto 10 de hecho podemos construir una infinidad de estas rectas tangentes pero ninguna va a pasar por el resto de la curva así que ojo si tienes una esquina filosa como el punto 10 en este valor absoluto es un buen indicador de que no seremos diferenciables ahí bueno ahora vamos a alejarnos de nuevo vamos a regresar nos a nuestra escala original y vamos a trabajar con otra función donde la ausencia de diferencia habilidad por una esquina sino que el acercarnos se empieza a ver lineal pero empieza a parecerse a una recta vertical así que un buen ejemplo de esto es tomarnos la raíz cuadrada de digamos 4 - x cuadrada esta función es la mitad superior de un círculo con radio 2 y enfoquémonos en el punto 20 porque justo allí no existe la derivada observa que si nos acercamos lo suficiente podrás ver que justo en el punto 20 empieza a parecerse a una recta vertical y es por ello que no somos diferenciables en el punto 20 bien regresemos ahora otra cosa que quiero mostrarte es que bueno en todos estos casos hemos hecho un acercamiento muy grande para apreciar bueno que tenemos una esquina en esta función del valor absoluto o que en el punto 20 o en el punto menos 20 hago extraño pasaba justo allí no era diferenciable pero hay funciones que normalmente no se ven en las clases de álgebra de cálculo pero en un principio se ven como una esquina bien marcada y cuando nos acercamos de manera adecuada cuando nos acercamos demasiado podemos ver la linealidad local y de hecho son diferenciables en esos puntos así que borremos todo esto y vamos a buscar un buen ejemplo para ello se me ocurre la función y igual a bueno si ponemos x elevado a la 10 observa esta gráfica empieza a tener unas esquinas por allí y si ahora hacemos esto elevado a la potencia 100 ahora parece que tenemos unas esquinas mucho más marcadas y para exagerar más voy a poner la potencia a 1000 así que observa en esta escala parece que tenemos una esquina en el punto 10 pero de hecho esta curva ni siquiera pasa por el punto 10 si x es igual a 1 que es igual a 1 pero ojo aunque parece que en esta escala tenemos una esquina bien marcada si empezamos a hacer un acercamiento esta esquina se va a suavizar y esto es bueno porque la función de hecho es diferenciable para todas x tal vez esta sea una función un poco más exótica de lo que normalmente se ve pero si nos acercamos vas a ver que todo cambia así que vamos a acercarnos por acá me sigue pareciendo una esquina bien marcada pero si nos acercamos lo suficiente ahora puedes ver que esto empieza a suavizarse y empieza a curvar observa si nos acercamos lo suficiente esto empieza a verse como una recta y estoy seguro que esto es bastante difícil de creer cuando tenemos la escala original pero ahora el punto donde parecía una esquina la distancia al acercarnos podemos encontrar la linealidad local y como no tenemos una recta vertical y esto ocurre para todo punto en esta curva por lo tanto podemos decir que somos diferenciables así que el punto aquí era que hay veces que nos tenemos que acercar demasiado con la herramienta de demos que es la herramienta que estoy utilizando y que es muy útil para este tipo de ejemplos y aunque estas no son las matemáticas muy rigurosas nos da la intuición de que si nos acercamos lo suficiente vamos a ver como una curva se parece cada vez más a una recta entonces ese es un buen indicador de que esa curva es diferenciable y si te mantienes acercándote y se sigue pareciendo a una esquina o si te acercas y se ve como una tangente vertical bueno entonces estoy seguro que algunas preguntas deben de surgir en tu cabeza bueno eso es todo por este vídeo nos vemos en el siguiente