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Contenido principal
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Transcripción del video

imaginemos que tenemos una piscina con agua una piscina con agua y aviento una piedra que cae en el centro de dicha piscina con agua y unos instantes después una honda una pequeña honda se mueve radialmente hacia afuera con respecto a donde cayó la piedra deja de ver que también puedo dibujar esto aquí la tenemos esta es la onda que se mueve radialmente hacia afuera de donde cayó la piedra es un círculo cuyo centro es donde la piedra cayó en el agua supongamos que en este momento el radio el radio es de tres centímetros tres centímetros y también supongamos que este radio está creciendo a una razón de un centímetro por segundo vamos a escribir esto radio radio creciendo creciendo a razón de un centímetro por segundo entonces dado esto que el radio es tres centímetros y que este radio está creciendo a una razón de un centímetro por segundo la pregunta es a qué razón está el área del círculo creciendo a qué razón a qué razón esta área de círculo creciendo a qué razón está el área del círculo creciendo interesante pensemos entonces en lo que sabemos y en lo que no sabemos en lo que estamos intentando calcular si llamamos a este radio r sabemos entonces que el radio es igual a 3 centímetros y también sabemos que el radio r está creciendo a razón de un centímetro por segundo y esta información la podemos poner como de rehén de la razón a la que crece el radio con respecto al tiempo es igual a 1 centímetro por segundo un centímetro por segundo y que nos están preguntando nos están preguntando a qué razón está el área creciendo en este caso sería la razón a la que crece a a es el área con respecto al tiempo de jaén de t la razón a la que crece el área con respecto al tiempo es lo que nos están preguntando lo que necesitamos aquí entonces es una relación entre el área del círculo y el radio del círculo para posteriormente derivar esa expresión con respecto al tiempo haciendo uso de la regla de la cadena entonces cuál es la relación en todo momento entre el radio del círculo y el área del círculo bien por geometría básica sabemos que el área del círculo es igual a pi por el radio del círculo al cuadrado ahora queremos calcular la derivada del área con respecto al tiempo así es que derivamos ambos lados de esta expresión con respecto al tiempo déjame dar me acerque un poco más despacio o hacer un poco más de espacio aquí voy a reescribir lo que teníamos que spears x radio al cuadrado y voy a tomar entonces la derivada de ambos lados con respecto al tiempo la derivada de a con respecto al tiempo no está derivando con respecto a r estoy derivando ambos lados con respecto al tiempo entonces del lado izquierdo que va a tener la derivada del área la derivada del área déjame hacerlo en verde la derivada del cáncer del x ponerlo con el coro adecuado ahora si del lado izquierdo tengo la derivada de a con respecto a t la viva el área con respecto al tiempo y del lado derecho vamos a derivar piporé al cuadrado con respecto al tiempo voy a sacar esta constante es más fácil si saco constantes entonces va a ser pi por la elevada con respecto al tiempo del radio al cuadrado y para dejar en claro lo que voy a hacer porque voy a usar la regla de la cadena estamos suponiendo que eres una función que depende del tiempo cierre no estuviera en función del tiempo tampoco estaría en función del tiempo aquí sólo escrito r déjame ser explícito que depende del tiempo r de t elevado al cuadrado y queremos encontrar entonces la derivada de esto con respecto al tiempo y aquí tenemos que aplicar la regla de la cadena estamos tomando la derivada de algo elevado al cuadrado con respecto a ese algo la derivada de algo elevado al cuadrado es dos por s algo elevado a la 1 entonces voy a hacerlo aquí más claro estamos tomando la derivada de r cuadrada rd t elevado al cuadrado con respecto a rd t si hubiera sido la derivada de x cuadra con respecto a x ésta sería 2x así es que la derivada de ere de t al cuadrado con respecto a er det es igual a 2 r de t pero ésta no es aún la derivada con respecto al tiempo esta es la derivada tan solo con respecto a er det para obtener la derivada de rd t al cuadrado con respecto al tiempo necesitamos multiplicar esto de aquí por la razón a la que cambia r de t con respecto al tiempo a la que cambia r de t con respecto al tiempo entonces la tasa a la que erre te cambia con respecto al tiempo lo puedes escribir simplemente como de r en dt estas dos son equivalentes y todo esto multiplicado por ti quiero insistir que aquí tenemos la red de la cadena aplicada estamos todo la derivada de algo elevado con respecto al tiempo tomamos primero la derivada de algo elevado con respecto a ese algo y lo multiplicamos por la derivada de ese algo con respecto al tiempo nunca está de más insistir que aquí estamos aplicando la regla de la cadena regla de la cadena tenemos entonces que pi por esto es igual a la derivada del área con respecto al tiempo bien deja de escribir esto aquí arriba para que esté un poco más limpio que tenemos que la derivada del área con respecto al tiempo va a ser igual ap x de hecho este 2 deja de ponerlo antes 2 pi que multiplica a rd te voy a poner ahora r simplemente ya sabemos que depende del tiempo va a poner simplemente r por déjame hacerlo en azul para poner r en azul como lo estado haciendo por la derivada del radio con respecto al tiempo de r en dt bien sustituyendo los valores que conocemos que tenemos tenemos que r es igual a tres centímetros en este momento r es igual a tres centímetros de eren dt también en este momento es un centímetro por segundo un centímetro por segundo y entonces dejan dt de a ende te va a ser igual a 2 pi por 3 2 por 3 por déjame usar el mismo color que tenía por 1 y simplemente para checar que tenemos las unidades adecuadas veamos aquí tenemos centímetro por centímetro a centímetro cuadrado eso está muy oscuro centímetro al cuadrado sobre segundo que son unidades adecuadas para el cambio de área tenemos entonces de jaén de la razón a la que cambia el área con respecto al tiempo es igual a dos por tres esto es seis pi ligeramente mayor a 18 centímetros cuadrados por segundo centímetros cuadrados por segundo estoy bien dos por tres y 66 centímetros cuadros por segundo que la razón a la que cambia el área con y hemos terminado