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Analizar problemas de razones relacionadas: ecuaciones (trigonometría)

Encontrar la razón de cambio del ángulo que forma con el piso una escalera que cae.

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Transcripción del video

una escalera de 20 metros está inclinada sobre una pared la distancia x 7 entre el pie de la escalera y la pared crece a una tasa de 3 metros por minuto en cierto tiempo de subíndice 0 la parte superior de la escalera está a una distancia bien dt subíndice 0 de 15 metros sobre el suelo cuál es la tasa de cambio del ángulo theta dt que se forma entre el suelo y la escalera en ese instante viena lo primero que haremos es hacer un boceto del problema después nos preguntaremos qué ecuación nos ayudaría a resolver este problema y con esto vamos a resolver el problema así que veamos una escalera de 20 metros está inclinada sobre una pared bueno por aquí voy a poner a mi pared ok déjame poner que esta es mi pared ok bueno también necesito el suelo supongamos que por aquí tengo el suelo ok este es el suelo y tengo una escalera recargada en la pared así que voy a poner por aquí una escalera que está recargada en la pared y bueno empieza en el suelo y sabemos que esta escalera mide 20 metros 20 metros y después nos dicen la distancia x dt m entre el pie de la escalera y la pared crece a una tasa de 3 metros por minuto ok entonces la distancia que hay de aquí a acá esta distancia se llama x de tema déjame ponerle nombre x dt y sabemos que crece a una tasa de 3 metros por minuto es decir que x prima de t ok o lo que es lo mismo esto podemos escribirlo como la derivada de x con respecto al tiempo sabemos que esta tasa de cambio es de 3 metros por minuto de lujo y por otra parte me dicen que en cierto tiempo t subíndice 0 la parte superior de la escalera está a una distancia bien dt subíndice 0 de 15 metros sobre el suelo es decir que esta distancia esta distancia que va de aquí al suelo ok tiene el nombre de james d y bueno me dicen que en un instante texto 2007 subíndice 0 es 15 metros sobre el suelo entonces déjame ponerlo bien de este instante de sub 26 0 es igual a 15 metros o también lo podemos escribir aquí si estamos en ese instante podemos decir que en el instante de subíndice 0 ok esta altura vale 15 metros 15 metros bueno y ahora nos preguntan lo siguiente cuál es la tasa de cambio del ángulo teta dt que se forma entre el suelo y la escalera en ese instante ok observa estamos fijándonos en este ángulo en este ángulo que voy a llamar theta y este ángulo también es una función del tiempo eso es importante cambia con respecto al tiempo ahora siempre que tengamos problemas con tasas de cambios relacionadas lo mejor es escribir una ecuación algebraica tal vez en este caso requiere algo de trigonometría que relacione todas estas cosas y después tomaremos la derivada de ambos lados de esta ecuación para así relacionar las tasas de cambio y veamos queremos saber cuál es la tasa de cambio del ángulo de tap dt que se forman entre el suelo y la escalera en ese instante es decir esencialmente lo que queremos es cuánto vale teta prima y nos dan algunos datos importantes sabemos que la tasa de cambio de x con respecto al tiempo es constante es de 3 metros por minuto y sabemos cuánto vale en ese instante tiempo de prima de t subíndice 0 es de 15 metros así que hay formas de establecer una relación entre x y theta esto porque tenemos la derivada de x con respecto al tiempo para obtener la derivada de theta con respecto al tiempo y después usar la información de dt subíndice 0 ok hay formas de relacionar a x con teta bueno simplemente hay que usar un poco de trigonometría porque si multiplicamos la hipotenusa por el co seno de este ángulo theta voy a obtener x entonces déjame notarlo xd te lo podemos ver si relacionamos a x con tdt como la hipotenusa que en este caso vale 20 metros la hipotenusa que multiplica al goce no de teta que a su vez es una función del tiempo al coseno de teta dt lo escribo así para que se vea claramente que es una función del tiempo y bueno esto sale simplemente de la definición de las funciones trigonométricas básicas ahora por qué es esto útil bueno pues vamos a pensar qué es lo que pasa cuando tomamos la derivada de ambos lados de esta ecuación usando la regla de la cadena en el lado izquierdo voy a obtener bueno la derivada de esto es simplemente x prima de t ok y del lado derecho obtengo primero la derivada del coseno con respecto a theta lo cual es menos 20 no olvidemos este 20 por el seno de teta por el seno de eta dt ok y esto habrá que multiplicarlo utilizando la regla de la cadena por la derivada de lo de adentro con respecto al tiempo es decir por la derivada de teta con respecto a t por lo tanto este subíndice cero que es el instante que me importa la derivada de teta con respecto a tem entre sus 20 c zero va a ser igual a quien bueno podemos saber cuánto vale x prima de tm porque nos lo dicen acá arriba puedo intentar encontrar el valor de menos 20 el seno de teta ente subíndice 0 y solamente me quedaría despejar a teta prima de t subíndice 0 así que hagámoslo igual a t subíndice 0 obtengo que bueno x prima de tema para toda tema es de 3 metros por minuto esto suponiendo que las tasas de cambio están en metros por minuto la distancia está en metros y por lo tanto los ángulos están en radiales entonces usando esta información me quedaría que 3 es igual a menos 20 por el seno de tener entre subir 0 por la derivada de theta ente subíndice 0 ahora cómo podemos encontrar el seno de detente subíndice 0 bueno usemos la otra información que nos dan sabemos que el seno detectan entre subíndice 0 bueno esto va a ser el opuesto entre la hipotenusa así que déjame notarlo el seno de eta / sub índice 0 ok esto va a ser igual al opuesto que es 7 y dt pero ante subíndice 0 ok esto dividido a su vez entre la hipotenusa que ya sabemos que es 20 metros pero lo bueno es que sabemos cuánto vale bien dt subíndice 0 nos lo dan nos dicen que es 15 metros por lo tanto esto serían 15 entre 20 lo cual es simplemente tres cuartos y entonces puedo sustituir este seno de teta entre su 26 0 por tres cuartos déjame ponerlo esto de aquí ahora sabemos que vale tres cuartos entonces me va a quedar esto por tres cuartos ok y esto a su vez que multiplica a la derivada de teta con respecto a t entre subíndice cero esto por la derivada de teta con respecto a t en temps sub índice cero bien ahora sólo falta despejar teta prima dt subíndice cero y hemos acabado entonces menos veinte por tres cuartos bueno esto de aquí es menos 15 y ahora sí ya puedo decir que te deprimas dt subíndice 0 de la prima de este subíndice 0 va a ser igual a bueno tengo 3 entre menos 15 3 entre menos 15 o lo que es lo mismo a menos un quinto ok y bueno en este caso mis unidades son radiales por minuto radian es por minuto y ya está observa este problema fue bastante interesante porque nos dan el dato de cuánto valen dt subíndice 0 que eso lo utilizamos para obtener el seno de teta entre subíndice 0 y por otra parte necesitábamos la ecuación que involucrará a equis y zeda dt ok eso es todo hasta la próxima