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Transcripción del video

ahora que ya sabemos la regla de potencias la cual establece que la derivada con respecto a x de x a la n es igual a n por x a la n 1 esto para n distinto de 0 creo que es importante presentarte otras reglas propiedades y conceptos que se aplican a las derivadas las cuales básicamente nos van a permitir derivar cualquier polinomio por lo que te voy a proveer de herramientas poderosas lo primero que quiero considerar es porque este caso particular en que n es distinto de cero qué pasa si n es igual a cero veamos lo tomemos entonces intentemos tomar entonces la derivada con respecto a x de x a la cero de x elevada a la potencia cero entonces cuál es la derivada con respecto a x de x a la cero y aquí tenemos que suponer que x es distinto de 0 0 al acero produce cosas muy extrañas entonces si x es distinto de 0 la derivada con respecto a x de x a la 0 es igual a la derivada con respecto a x de 1 x elevado a la potencia 0 es igual a 1 y cuál es entonces la derivada con respecto a x de uno bien para contestar esa pregunta voy a graficar la función fx igual a 1 para hacer esto más claro aquí tenemos entonces nuestro eje y nuestro eje vertical y aquí estaría nuestro eje x el eje horizontal fx igual a 1 fx igual a 1 es simplemente una recta horizontal que pasa por igual a 1 esta de aquí es la función de igual a fx igual a 1 y para calcular la derivada de esta función recordemos que la derivada es simplemente la pendiente de la recta tangente entonces consideremos cuál es la pendiente de esta recta de esta recta horizontal bueno al ser una recta la pendiente es constante la pendiente no cambia y de hecho la pendiente esta recta horizontal es igual a cero pongámoslo por acá la pendiente para todo punto sobre la recta es igual a cero entonces si la pendiente para todo punto es igual a cero la derivada con respecto a x va a ser igual a cero y esto es válido no tan solo para la función constante igual a 1 para cualquier función constante pongamos por ejemplo 3 esta es igual a 3 cuánto es para esta función la derivada de ye con respecto a x y observe entonces cómo estamos introduciendo varias notaciones para la derivada está la anotación de jane de x la cual es equivalente a que prima y cuánto es esta derivada bueno vemos aquí que en esta recta la pendiente para todo x es igual a 0 y por tanto la derivada de ye con respecto a x que prima es igual a cero así que no tan sólo para x a la cero si tú tomas la derivada de cualquier constante ésta va a ser igual a cero escribamos esto la derivada con respecto a x de a donde a es cualquier constante esto es igual a cero como puedes ver es una regla bastante sencilla bien veamos otra propiedad supongamos que queremos sacar la derivada de una constante por una función y voy a usar la misma letra a para denotar la constante entonces si queremos calcular la derivada con xd a por fx esto a que va a ser igual bueno esta regla nos dice que siempre podemos sacar la constante de la derivada es decir esto va a ser igual a la constante y lo va a poner en el mismo color magenta esto es igual a la constante a por la derivada con respecto a x la derivada con respecto a x de fx de mi función f x lo ponen azul de fx y esto esto también lo podemos escribir de la siguiente manera esto va a ser igual a la constante a y esta derivada con respecto a x de fx es simplemente f prima de x esto te puede parecer notación un tanto extraña pero estoy seguro que con el siguiente ejemplo te va a quedar clara la regla supongamos entonces que tenemos que calcular la derivada con respecto a x d 2 2 por equis a la quinta deja de mantener los mismos colores dos por equis a la quinta bien la regla que acabamos de ver que nos dice nos dice que la constante la podemos sacar de la derivada entonces va a ser 2 por la derivada con respecto a x de x a la quinta por la derivada con respecto a x de y como puedes ver esencialmente lo que estamos haciendo es sacar el 2 antes de la derivada entonces esto va a ser igual a 2 por la derivada con respecto a x de x a la quinta y como derivamos x a la quinta bien por la regla de potencias podemos calcular que esto es 5x a la cuarta deja escribir entre la constante 2 por la deriva de quizá la quinta va a ser aquí tenemos la regla 5 por equis a las 5 menos 1 x a la cuarta 5 x x a la cuarta entonces esto va a ser 2 por 5 por equis a la cuarta y esto que va a ser igual multiplicamos las constantes 2 por 5 10 x a la cuarta que hicimos aplicamos aquí la regla de potencias la derivada de quizá las 5 es 5 por equis a la cuarta por dos nos dio 10x a la cuarta y eso nos simplifica bastante las cosas ahora ya podemos aplicar esta propiedad para llevar cualquier función de la forma a por equis a la n veamos ahora otra regla estas reglas se aplican no tan sólo con la regla de potencias sino para cualquier función lo que sucede con la regla de potencias es que usando la en combinación con estas reglas podemos derivar cualquier tipo de polinomio entonces si queremos la derivada de una suma de funciones digamos la derivada con respecto a x de fx + gdx esto a que es igual bueno para nuestra fortuna esto es igual a la suma de las derivadas esto es igual a efe prima de x deja de poner lo mejor en notación de de en de equis esto es igual a la derivada con respecto a x de fx más la diva con respecto a x gx vamos a escribirlo esta es la viva con respecto a x de fx más la derivada con respecto a x de gx y esto es igual usando la otra anotación a la derivada con respecto a x de fx que es f prima de x efe prima de x más la deriva con respecto a x deje de x la diva con respecto a x deje de x que es igual a g prima de x de nueva cuenta esto puede parecer como notación muy extraña para ti pero ahora que hagamos el ejemplo te va a quedar claro si tenemos por ejemplo la derivada con respecto a x de digamos x al cubo x al cubo más x a la menos 4 esto a que va a ser igual bueno veamos esta es la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas la derivada de x kubica ya sabemos que es 3x cuadrada aplicando la regla de potencia más la derivada de quizá la menos 4 que es más menos 4 bajamos el exponente bajamos el exponente menos cuatro más menos 4 menos cuatro por equis a la menos 4 - 1 - 5 por equis a la menos 5 esto es igual al final de cuentas a 3 x cuadrada - 4x a la menos 5 y ahora ya contamos con las herramientas para derivar cualquier polinomio ya tenemos herramientas para derivar cualquier tipo de polinomio hagamos un ejemplo para practicar esto calculemos entonces la derivada con respecto a x de fx supongamos que fx es igual a 2x al cubo menos 7x cuadrada más 3x menos 7 y la derivada con respecto a x dfa que va a ser igual efe prima de x a que es igual bueno empezamos aplicando nuestras reglas aquí tenemos 2 por x cúbica la deriva de 2 por equis cúbica sacamos la constante como vimos va a ser 2 por la deriva de x kubica que es 3x cuadrada lo la derivada de menos 7 x cuadrada deriva de menos 7 x cuadra es menos 7 la constante por la elevada de x cuadrada que es 2 por x 12 por x luego más derivada de 3x esto es 3 por la derivada de x x es x a la 1 aplica hablar en la potencia sería 1 x x a la 0 1 x x sala 0 es uno no lo indicamos tan sólo queda 3 y finalmente más la derivada de menos 100 y esto fue lo que vimos al principio la derivada déjame ponerlo en otro color para distinguirlo la derivada de una constante es igual a cero entonces esto va a ser más la derivada de menos 100 que es igual a cero bien simplifiquemos ahora esta expresión para obtener entonces que la derivada de f con respecto a x efe prima de x 2 x 36 x cuadrada menos 7 x 2 x menos 14 x más 30 no lo ponemos y ya hemos acabado ya tenemos una gran diversidad de herramientas que nos permiten encontrar derivadas de polinomios