Diferenciación de polinomios

tenemos aquí a la función f x definida como un polinomio y lo que quiero que hagamos en este vídeo es encontrar la derivada de f o sea básicamente encontrar la derivada de este polinomio y por cierto queremos la derivada con respecto a x pero bueno lo primero que vamos a hacer es sacar la derivada de los dos lados la derivada con respecto a x de f de x es igual a la derivada con respecto a x del polinomio x a las 5 más 2 x al cubo menos x al cuadrado ahora acerca de la anotación podríamos pensar en esto como el operador derivar y lo que nos dice es que encontremos la derivada de lo que está entre paréntesis con respecto a x y entonces aquí tenemos la derivada de fx con respecto a x a la cual muchas veces también le llamamos fue prima de x y esto va a ser igual a la derivada del polinomio con respecto a x pero aquí podemos usar algunas propiedades de la derivada y simplificarlo un poco sabemos que la derivada de la suma de algunos términos es igual a la suma de la derivada de cada uno de esos términos entonces vamos a escribir por aquí la derivada de cada uno de estos tres términos es igual a la derivada con respecto de x de este término más la derivada con respecto de x de el segundo término menos la derivada con respecto a x de el último término porque aquí tenemos este menos vamos a escribirlo con colores distintos aquí tenemos x elevado a la potencia 5x elevado a los 5 es es 2x elevado a la 32 x a la 3 y luego restamos x al cuadrado x a la 2 y listo lo único que estamos haciendo es tomando la derivada de cada uno de estos términos por separado y después sumando los si estábamos sumando estos términos o restando la derivada si estábamos restando ese término y esto es igual a que aquí podemos utilizar la regla de las potencias tomamos el exponente y lo multiplicamos por acá y luego le restamos 1 al exponente y lo que nos queda es 5 5 x elevada a las 5 menos 10 5 1 es 4 y luego para el segundo término otra vez usamos la regla de las potencias pero podemos hacerlo paso por paso para que sea más fácil la derivada con respecto a x de 2x a la potencia 3 es igual a aquí vamos a tomar este coeficiente y lo vamos a sacar de la derivada y nos queda 2 por la derivada con respecto de x de x elevado a la tercera potencia ahora esto de aquí es una de las propiedades de la derivada si tenemos la derivada de una constante por una expresión eso es igual a la constante la derivada de esa expresión y ahora cuál es la derivada de x a la 3 pues sabemos que tomamos el exponente lo ponemos por acá multiplicando y le restamos 1 al exponente y entonces nos queda 2 por 3 3 x elevada a la 3 menos 10 3 -1 es 2 y esto en total nos da 6 por x al cuadrado aquí podríamos haber puesto simplemente 6 por x al cuadrado que es lo que obtuvimos acá pero como te darás cuenta muy pronto esto se puede hacer muy fácil en la cabeza podemos tomar el exponente y multiplicarlo por el coeficiente y al final de cuentas también hicimos eso por acá y 3 por el coeficiente es 6 por equis elevado a la 3 menos 103 menos uno es 2 y listo ya terminamos no teníamos que hacer todo lo que hicimos por acá pero está bastante bien ver esto para que nos demos cuenta de que esto proviene de las propiedades de las derivadas que ya vimos en algunos otros vídeos y restamos la derivada del último término y para encontrarla vamos a utilizar otra vez la regla de las potencias tomamos el exponente lo colocamos al principio y le restamos 1 al exponente entonces ponemos al principio el 2 por equis a la 2 menos 1 pero 2 menos uno es simplemente uno que podemos escribirlo simplemente como x así es que ya tenemos por aquí la derivada de f y tú tal vez podrías preguntarme oye pero esto que es bueno pues esta es una expresión que describe la pendiente de la recta tangente a la función f en el punto x también podemos decir que es la tasa de cambio instantánea con respecto a x para cualquier valor de x por ejemplo que tal que queremos calcular f prima en 2 pues esto lo que nos dice es cuál es la pendiente de la recta tangente a la función f cuando x es igual a 2 y encontramos de esa pendiente utilizando esta expresión así es que esto es igual a 5 por 2 a la 4 más por dos a las dos menos dos por dos por aquí 2 a la 4 es 16 y 16 por 5 todo esto es 80 más 2 al cuadrado es 4 por 6 24 y luego 2 por 24 entonces tenemos 80 más 24 104 y luego menos 4 o sea 100 esto es igual a 100 entonces cuando x es igual a 2 esta curva está súper empinada porque la pendiente es 100 si graficar amos la recta tangente a la función efe cuando x es igual a dos por cada pequeño movimiento que viéramos en alguno de los dos sentidos tendríamos que movernos 100 veces ese movimiento en el eje del ay es así es que es una gráfica muy empinada lo cual tiene bastante sentido porque aquí tenemos un exponente bastante grande le estamos sumando otro exponente que también está bastante grande x a las 5 si es un exponente bastante grande