Tangentes de polinomios

esto que ves aquí en azul es la gráfica de ye igual a efe de x donde fx es la función x al cubo menos 6 x al cuadrado más x menos 5 lo que quiero que hagamos en este vídeo es encontrar cuál es la ecuación de la recta tangente a esta función cuando x es igual a 1 y lo podemos visualizar bastante bien aquí por aquí está x igual a 1 y cuando x es igual a 1 la función f toma este valor este valor de aquí y la recta tangente a la función f en este punto se va a ver más o menos puedo dibujar lo mejor la recta tangente se va a ver más o menos así pero a ver lo que nosotros queremos es encontrar la ecuación de esta recta y si estás muy inspirado y ojalá que si lo estés ponle una pausa al vídeo y encuentra esta ecuación por tu cuenta bueno para resolver esto algo que podemos hacer es encontrar la derivada de la función f en este punto porque la derivada justo es la pendiente de la recta tangente y entonces si ya sabemos cuál es la pendiente de la recta tangente y además conocemos un punto que pertenece a esa recta entonces ya podemos encontrar la ecuación de esa recta al fin es que queremos encontrar la ecuación de la recta tangente a efe cuando x es igual a 1 bueno pero empecemos evaluando efe de uno efe de uno es igual a uno elevado a la potencia 3 que es simplemente un 1 - 6 por 1 elevado a la potencia 2 pero eso es simplemente menos 6 menos 6 y luego más uno más uno menos 5 menos 5 y esto a cuánto es igual es igual a 2 menos 11 o sea menos 9 y eso se ve bien no por aquí esto sí parece ser menos 9 por cierto la escala del eje y es distinta a la escala del eje x así es que f 1 es menos 9 a ver si como sí lo hice bien uno menos 6 es menos cinco más uno menos cuatro menos cinco si lo hice bien menos nueve y ahora vamos a ver cuánto es la derivada de f en uno pero para eso sería bueno primero encontrar f prima de x cierto pero bueno este es un polinomio para encontrar su derivada simplemente tenemos que utilizar la regla de las potencias por aquí tenemos x elevada a la potencia 3 así es que tomamos el 3 lo multiplicamos por el coeficiente nos queda 3 y multiplicamos por la equis pero ahora elevada a la potencia que tenía menos uno y tres menos uno es 2 entonces tenemos 3 por x elevada a la potencia 2 y luego tenemos menos 6 por x a la 2 tomamos el exponente lo multiplicamos por el coeficiente menos 6 por 2 es menos 12 x a la 2 - 1 pero dos menos uno es uno que lo podemos dejar simplemente así más la derivada de x que es simplemente un 1 ahora si lo queremos ver paso por paso por aquí está x es igual a tomar la equis y elevarla a la potencia 1 entonces tomamos el exponente 1 lo multiplicamos por el coeficiente que también es 1 nos sigue quedando uno y luego multiplicamos por x elevada a la potencia que tenía menos 1 o sea que nos queda x a la cero pero x a la cero también es 1 y luego la derivada de una constante es simplemente cero entonces esta es la derivada de la función f y si queremos evaluarla en uno lo que nos queda es f prima evaluada en uno igual a tres por uno al cuadrado que es simplemente un 3 menos 12 por 1 nos queda menos doce más uno y ahora 312 es menos nueve más uno es igual a menos ocho y entonces lo que acabamos de obtener aquí es la pendiente de esta recta la recta tangente a la gráfica en este punto la pendiente de esta recta es menos 8 y también conocemos un punto de esa recta este punto de aquí que es x igual a 1 y es menos 9 y con esta información ya podemos encontrar la ecuación de la recta las ecuaciones de las rectas como seguramente te acuerdas tienen esta forma ye igual a m x + b donde m es la pendiente de la recta así es que ya sabemos que ya es igual menos 8 x x más y ahora solo nos falta encontrar ave pero para encontrarla podemos sustituir los valores de xy de algún punto que sabemos que pertenece a la recta y aquí tenemos ese punto entonces en esta recta sigue es igual a menos 9 ok y es igual a menos 9 x tiene que ser igual a 1 y lo que obtenemos aquí es que menos 9 es igual al menos 8 por 1 o sea menos 8 más b y ahora sí ya casi encontramos a b podemos simplemente sumar 8 de los dos lados y lo que nos queda es que menos 1 es igual a b y listo ya terminamos ya encontramos la ecuación de esta recta tangente de esta recta color magenta que es igual a la pendiente de la recta 28 x x + b pero ve ya encontramos que es igual a menos uno menos uno por cierto ve es la intersección de la recta con el eje x