La derivada como la pendiente de una curva

en este vídeo me gustaría hacer algunos ejemplos para practicar la derivada como una tasa de cambio de una curva o como la pendiente de una curva o mejor dicho como la pendiente de una recta que pasa tangente por la curva dependiendo de como quieran verlo entonces aquí tenemos f prima de 5 y esta anotación es decir escribir esta prima es otra forma de decir cuál es la derivada entonces nos dicen estima la derivada de la función en 5 y en este caso cuando decimos f prima de 5 está es la pendiente pendiente de la recta tangente la recta tangente 5 o también lo podemos ver como la tasa de cambio tasa de cambio de que con respecto a x así es como se define la pendiente de nuestra función f ahora pensemos en esto un poco como podemos ver aquí tenemos el punto 55 entonces si queremos estimar la pendiente de la recta tangente es decir si queremos saber qué tan empinada se encuentra esta curva podemos dibujar una recta que pase tangente por ese punto entonces hagamos eso vamos a dibujar una recta tangente más o menos así y justo en ese punto podremos saber qué tan empinada está la curva ahora lo que lo hace interesante es que esto no es lineal cambia constantemente miren aquí la pendiente de la curva es muy pequeña pero después va aumentando conforme nos movemos hacia la derecha es decir entre más grandes sean los valores de x pero si analizamos el punto en cuestión cuando x es igual a 5 recuerde nos piden f prima de 5 a la pendiente de esta recta cada vez que nos movemos una posición en la dirección x nos movemos dos posiciones en el eje de delta que es igual a 2 cuando delta x es igual a 1 entonces el cambio en jake con respecto a x al menos para esta recta tangente que representa nuestro cambio en jake con respecto a x justo en este punto es igual a 2 entre 1 y eso es igual a 2 ok y todas estas opciones están fuera porque miren una derivada negativa significa que conforme incrementamos x se disminuye y en este caso en realidad tendríamos una pendiente de menos 2 ahora si tuviéramos una pendiente igual a 0.1 esa sería una pendiente muy pequeña y la tenemos por aquí y una pendiente de menos 1 se encuentra por este lado es una pendiente muy pequeña mientras que una pendiente igual a cero significaría que nos encontramos en este punto en el que al cambiar x ya no aumenta ni disminuye la pendiente de una recta tangente que pasa por este punto es igual a cero así que nuestra respuesta es correcta hagamos otro aquí nos piden que comparemos la derivada de g en 4 y la derivada de g en 6 cuál será mayor bueno como siempre los invito a que pausa en el vídeo y lo intenten ustedes primero ok vamos a ver si trazamos una línea para indicar la pendiente vamos a dibujar una recta tangente que pase por este punto ahí está bueno esta línea que acabo de dibujar nos indica la tasa de cambio de y con respecto a equis o mejor dicho la pendiente de la curva pues ésta es una recta tangente y podemos pensar en la pendiente ahora si analizamos este punto al parecer aquí la pendiente es más empinada pero en dirección negativa entonces mire si por ejemplo incrementamos uno de x podemos ver que disminuye uno de iu entonces al parecer que prima de 4 es decir la derivada cuando x es igual a 4 es aproximadamente - 1 mientras que en este punto cuando incrementamos uno de equis parece que disminuye aproximadamente 3 entonces g prima de 6 es aproximadamente igual a menos 3 así que cuál es más grande bueno este es menos negativo por lo tanto este es mayor y bueno también podemos hacer esto intuitivamente si observamos la curva aquí tenemos una especie de si no soy de observen que en este punto la función es plana no hay cambio en jake con respecto a x pero después empieza a bajar y después sigue bajando pero la tasa de cambio disminuye hasta que en este momento la pendiente de la recta tangente es igual a 0 y después la pendiente vuelve a incrementar y eso sucede una y otra vez así que también podemos verlo desde un punto de vista más intuitivo