Demostración de la regla del producto

lo que quiero hacer en este vídeo es darte una demostración convincente de la regla del producto para derivadas así que empecemos realmente con la definición de derivada muy bien recordemos que si nosotros tenemos por ejemplo una función f x y digamos que esta función es derivable es decir podemos obtener la derivada de esta función esto por definición verdad así se define la derivada es el límite cuando h tiende a cero de fx + h - f x dividido entre h muy bien y por supuesto decimos que la función es derivables y este límite existe verdad y visualmente lo que nos dice este límite es que podemos calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto x verdad así que ahora vamos a hacer algo más interesante digamos que tenemos o más bien que queremos calcular derivada de uno de fx sino de fx por g de x es decir queremos calcular la derivada del producto de dos funciones muy bien ese será nuestro objetivo en este vídeo y como tenemos aquí la definición pues podemos simplemente utilizar la verdad esto sería el límite cuando h tiende a cero y aquí voy a dejar un una línea muy muy muy muy grande que vamos a poner una línea muy grande porque bueno ya ya veras porque vamos a utilizar esta línea grande pero tenemos abajo h muy bien ya arriba tenemos la función que en este caso es f x por gd x evaluada en x + h entonces en este caso tenemos f de x + h x de x + h verdad esto sería esta primera parte en nuestra definición y luego restamos la función evaluada en x verdad que en este caso serían menos f x x gdx pero lo voy a poner más acá de hecho voy a extender un poco más la línea y vamos entonces a poner menos f x por gd x muy bien y entonces tú te estarás preguntando bueno y porque dejo todo este espacio tan raro en esta en esta fracción verdad y ahorita vamos vas a darte cuenta por qué en realidad si nosotros observamos nada más esta expresión pues realmente no hay como mucha facilidad de cómo trabajarlo algebraica mente verdad entonces no nos da ninguna idea de cómo podríamos obtener una fórmula para la derivada del producto de dos funciones muy bien así que de hecho aquí viene un truco verdad ya mí a lo mejor no se me hubiera ocurrido a menos de que ya estuviera no sé a lo mejor toda una tarde observando el problema o quizás después de tres días de intentarlo se me hubiera ocurrido pero lo que sí es cierto es que a alguien ya se le había ocurrido sumar y restar algo verdad sumamos algo y restamos ese mismo algo para que no se afecte esta expresión verdad y entonces con esa cosa que sumemos podemos manipular algebraica mente esta expresión y lo que hay que restar por ejemplo podríamos restar efe de x + h gx pero si lo restamos hay que sumarlo fx más h por gd x muy bien entonces restamos y sumamos esto y entonces realmente estamos no estamos modificando esta expresión pero ahora ya podemos manipular algebraica mente este límite muy bien entonces vamos vamos a continuar con con esto y aquí por supuesto habría que mencionar que f y g son derivables verdad si no a lo mejor podría no tener sentido calcular esta derivada aunque vamos a suponer que fije son derivables y continuemos eso será importante al final del vídeo ahora tomamos el límite cuando h tiende a cero y aquí es en donde vamos a poder manipular esta verdad primero tomamos esta expresión o esta parte de la expresión ok aquí tenemos esta parte de la expresión y podemos observar que podemos factorizar un f x + h fx más h lo podemos factorizar verdad entonces escribimos efe de x + h que multiplica a lo que nos resta que sería x + h menos gdx dividido todo eso entre h muy bien aquí esto es simplemente esta expresión que tenemos circulada en em en azul digamos muy bien y ahora podemos considerar la otra parte de la expresión verdad recuerden que h divide a todo entonces también divide esta parte de la expresión y eso simplemente sería lo siguiente tenemos ahora que podemos factorizar gx verdad podemos factorizar que de x y que nos queda tenemos gdx que multiplica a efe de x + h - efe de x / todo esto también entre h y hay que sacar el límite de toda esta expresión y ahora lo único que necesitamos es acordarnos de las propiedades del límite verdad porque aquí tenemos una suma de esta expresión con esta otra expresión y el límite de una suma es zuma de los límites ahora bien por ejemplo aquí tenemos una expresión por esta otra expresión a la cual habrá que sacarle el límite entonces el límite de un producto es el producto de los límites muy bien vamos a vamos a expresar esto simplemente esto sería el límite cuando h tiende a cero de f de x + h por el límite del límite cambia de verde ponerlo bien por el límite cuando h tiende a ser hoy aquí no parece h ahora sí de gd x más h - g de x - g x y todo eso dividido entre h y yo creo que ya te estarás dando cuenta a dónde vamos a llegar verdad entonces déjenme poner paréntesis sería este producto más verdad hay que sacar el límite de las sumas perdón el límite de la suma es la suma de los límites entonces sería el límite de este producto que es el producto de los límites sería límite cuando h tiende a cero deje de x gx por el límite cuando h tiende a cero de fx más h ops debería usar el mismo color vamos a usar el mismo color sería fx más h - efe de x todo eso / / h verdad entonces sacamos el límite de esto bueno más bien sería este límite que multiplica a este otro límite y ahora vamos a ver qué es cada uno de esos límites verdad hasta ahorita sólo hemos utilizado las las propiedades de los límites entonces si nos fijamos por ejemplo en este primer límite si tenemos fx + h y aplicamos el límite cuando h h tiende a 0 nos gustaría mucho decir que esto es f x verdad y eso sí pasa por la razón que dijimos al inicio efe que son funciones derivables y en un vídeo anterior vimos que f es derivable sí e implica que es continua verdad si tenemos una función derivable entonces es continua y entonces este límite si es f x muy bien ahora qué pasaría con esta expresión que tenemos aquí que nos voy a poner quizás con este color rosa entonces esto de aquí es justo la definición de la derivada verdad es justamente lo que tenemos aquí arriba eso quiere decir que esto es la derivada de g y es el límite existe porque supusimos que la que era derivable verdad y ahora sumamos sumamos el límite cuando h tiende a 0 de g de x eso simplemente es que de x porque nada depende de la h y de este otro lado podríamos ponerlo bueno en supuesta verdad y del otro lado tenemos esta expresión que nuevamente coincide con la definición de la derivada entonces esto simplemente sería la derivada de f entonces vamos a escribir lo más bonito esto simplemente obtuvimos que era f x porque prima de x es decir la derivada de g gx gx por efe prima de g por f prima de x o la derivada de f verdad entonces como a mucha gente le gusta decir que sería lo siguiente que la derivada de un producto de dos funciones sería la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera y esto sólo fue una demostración verdad tal vez puede haber otras pruebas de la regla del producto pero esta es una demostración muy directa muy bonita y además es fácil de entender