Demostración de la regla de la potencia para la función de raíz cuadrada

me han pedido que haga la prueba de la derivada de la raíz cuadrada de x he pensado en hacer un vídeo de cómo se halla dicha fórmula de la derivada de la raíz cuadrada de x conocemos la definición de una derivada es decir la derivada de la función raíz cuadrada de x es igual a y bueno vamos a cambiar los colores para hacer esto más variado es igual al límite mientras belta x se aproxima a cero algunas personas les gusta utilizar más h tiende a cero en fin esto esto es irrelevante y yo prefiero usar más delta x entonces es la raíz cuadrada de x + delta x menos menos la raíz cuadrada de x entre delta x todo lo anterior entre delta x ahora mismo cuando miro esto no veo demasiada posibilidad de resolverlo así que lo que vamos a hacer es multiplicar esta fracción por el conjugado de el numerador es decir vamos a multiplicar todo esto bueno déjenme escribirlo el límite cuando delta x tiende a cero solo estoy copiando lo que teníamos arriba de la raíz cuadrada de x más delta x menos la raíz de x entre delta x y voy a multiplicar déjenme utilizar otro color por la raíz cuadrada de x + delta x más la raíz cuadrada de x entre la raíz cuadrada de x más delta x más la raíz cuadrada de x esto es un número 1 así que por supuesto puede multiplicar lo estamos pensando que x y delta x son distintos de 0 entonces este es un número bien definido de hecho es 1 y recordemos que multiplicar por 1 es como haber hecho nada realmente así que escribimos límite cuando delta x tiende a cero y esta parte es de la forma menos b por b déjenme escribirlo por acá abajo además ve por a menos b es igual a a cuadrada menos b cuadrada una diferencia de cuadrados así que vamos a utilizar esto en la expresión de acá arriba esto será igual al cuadrado de esta primera expresión que va a tomar el papel de la a esto simplemente es el cuadrado de la raíz cuadrada de x + delta x que es x + delta x menos el cuadrado de esta segunda expresión que simplemente siguiendo la analogía va a ser el cuadrado de la raíz cuadrada de x que es x y todo esto sobre delta x por la raíz de x + delta x la raíz d ahora vamos a ver como simplificando tenemos una equis y un equis así que esto se cancela y quedamos sólo con el numerador y el denominador tenemos delta equis acá y delta equis acá abajo así que dividimos entre este número y nos queda 1 de este lado y 1 de este otro lado así que esto nos queda el límite cuando delta x tiende a 0 espero tenga espacio para ponerlo de 1 sobre y bueno esto solo lo podemos hacer si pensamos que delta x es distinto de 0 sólo se aproxima a 0 pero es distinto entonces decíamos la raíz de x + delta x más la raíz de x ahora podemos tomar directamente el límite cuando delta x tiende a cero esto simplemente es sustituir así que esto es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de x más delta x que se aproxima a cero y eso simplemente sustituir la raíz cuadrada de x y esto es igual a 1 sobre 2 veces la raíz cuadrada de equis y eso también es igual a un medio de x a la menos un medio acabamos de probar que la derivada de x a la potencia un medio es un medio de x elevado a la menos un medio y esto es consistente con nuestra fórmula general de la derivada de x elevada a una potencia digamos la derivada de a alá no disculpen no está sino la derivada de x a la n va a ser n x a la n 1 incluso cuando n es un medio que es el de este caso espero que haya sido satisfactorio no lo probé para todas las fracciones pero es un buen inicio es una muy común y espero no haya sido difícil de probar nos vemos en próximos vídeos