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Contenido principal

Demostración de la regla de la potencia para la función de raíz cuadrada

Transcripción del video

me han pedido que haga la prueba de la derivada de la raíz cuadrada de x he pensado en hacer un vídeo de cómo se halla dicha fórmula de la derivada de la raíz cuadrada de x conocemos la definición de una derivada es decir la derivada de la función raíz cuadrada de x es igual a y bueno vamos a cambiar los colores para hacer esto más variado es igual al límite mientras belta x se aproxima a cero algunas personas les gusta utilizar más h tiende a cero en fin esto esto es irrelevante y yo prefiero usar más delta x entonces es la raíz cuadrada de x + delta x menos menos la raíz cuadrada de x entre delta x todo lo anterior entre delta x ahora mismo cuando miro esto no veo demasiada posibilidad de resolverlo así que lo que vamos a hacer es multiplicar esta fracción por el conjugado de el numerador es decir vamos a multiplicar todo esto bueno déjenme escribirlo el límite cuando delta x tiende a cero solo estoy copiando lo que teníamos arriba de la raíz cuadrada de x más delta x menos la raíz de x entre delta x y voy a multiplicar déjenme utilizar otro color por la raíz cuadrada de x + delta x más la raíz cuadrada de x entre la raíz cuadrada de x más delta x más la raíz cuadrada de x esto es un número 1 así que por supuesto puede multiplicar lo estamos pensando que x y delta x son distintos de 0 entonces este es un número bien definido de hecho es 1 y recordemos que multiplicar por 1 es como haber hecho nada realmente así que escribimos límite cuando delta x tiende a cero y esta parte es de la forma menos b por b déjenme escribirlo por acá abajo además ve por a menos b es igual a a cuadrada menos b cuadrada una diferencia de cuadrados así que vamos a utilizar esto en la expresión de acá arriba esto será igual al cuadrado de esta primera expresión que va a tomar el papel de la a esto simplemente es el cuadrado de la raíz cuadrada de x + delta x que es x + delta x menos el cuadrado de esta segunda expresión que simplemente siguiendo la analogía va a ser el cuadrado de la raíz cuadrada de x que es x y todo esto sobre delta x por la raíz de x + delta x la raíz d ahora vamos a ver como simplificando tenemos una equis y un equis así que esto se cancela y quedamos sólo con el numerador y el denominador tenemos delta equis acá y delta equis acá abajo así que dividimos entre este número y nos queda 1 de este lado y 1 de este otro lado así que esto nos queda el límite cuando delta x tiende a 0 espero tenga espacio para ponerlo de 1 sobre y bueno esto solo lo podemos hacer si pensamos que delta x es distinto de 0 sólo se aproxima a 0 pero es distinto entonces decíamos la raíz de x + delta x más la raíz de x ahora podemos tomar directamente el límite cuando delta x tiende a cero esto simplemente es sustituir así que esto es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de x más delta x que se aproxima a cero y eso simplemente sustituir la raíz cuadrada de x y esto es igual a 1 sobre 2 veces la raíz cuadrada de equis y eso también es igual a un medio de x a la menos un medio acabamos de probar que la derivada de x a la potencia un medio es un medio de x elevado a la menos un medio y esto es consistente con nuestra fórmula general de la derivada de x elevada a una potencia digamos la derivada de a alá no disculpen no está sino la derivada de x a la n va a ser n x a la n 1 incluso cuando n es un medio que es el de este caso espero que haya sido satisfactorio no lo probé para todas las fracciones pero es un buen inicio es una muy común y espero no haya sido difícil de probar nos vemos en próximos vídeos