Si estás viendo este mensaje, significa que estamos teniendo problemas para cargar materiales externos en nuestro sitio.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenido principal

Diferenciabilidad en un punto: forma algebraica (la función no es diferenciable)

En este video estudiamos una función definida por partes para ver si es continua y diferenciable en el punto en el que cambia su definición. En este caso, la función es continua pero no diferenciable.

¿Quieres unirte a la conversación?

  • Avatar blobby green style para el usuario Eduardo Hernández
    No entiendo la parte cuando dice que la función esta definida en todos los números reales , me pueden explicar, no se supone en este caso, que cuando estás evaluando por la izquierda no puede tomar el valor de 1
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
    • Avatar blobby green style para el usuario valentin rivas
      cuando dice que la función esta definida en todos los reales es porque a esa función se le puede dar cualquier numero real en la x y sera continua, o sea , no da indeterminación (0/0) y en ese caso 1-1=0 pero eso es continua porque no es una fraccion. y dice que cuando se evalua por la izquierda no puede tomar el valor de 1 es porque la funcion tiene la condicion de que cuando x es menor a uno vas a usar la funcion que corresponde a esa condicion pero eso no quiere decir que no pueda tomar el valor de 1 solo quiere decir que vas a usar esa funcion
      (5 votos)
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

la siguiente función es continua diferenciable en x igual a 1 y tenemos aquí la función g definida por partes y luego varias opciones es continua pero no diferenciables es diferenciable pero no continua es ambas continua y diferenciable o es ninguna ni es continua ni es diferenciable y como siempre pone pausa este vídeo e intenta averiguarlo por tu cuenta primero vamos a ver si la función g es continua continua ahora para que la función g sea continua en x igual a 1 lo que necesitamos es que g de 1 sea igual al límite cuando x tiende a 1 deje de x entonces empecemos averiguando cuánto es gd 1 y g de 1 caemos en este caso de 1 es uno menos uno al cuadrado o sea que g de uno es cero así es que si encontramos que el límite cuando x tiende a 1 deje de x es igual a cero entonces la función g es continua por lo que vamos a calcular el límite cuando x tiende a 1 y vamos a empezar calculando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha empezamos por aquí con el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y bueno quedaron bastante bien divididos estos dos casos porque cuando estemos tomando el límite por la izquierda todas las x como van a ser menores que 1 van a pertenecer a este acaso y cuando estemos tomando el límite por la derecha todas las equis que van a ser mayores que 1 van a pertenecer a este caso así es que estamos tomando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de g de x ahora justo es el límite por la izquierda entonces todas las x de este límite son menores que 1 así es que pertenecen a este caso y gtx en este caso es igual a x menos 1 así es que por acá podemos poner directamente x menos 1 porque conforme la x se acerca al 1 por la izquierda como se está acercando por la izquierda los valores de x son menores que 1 entonces gdx para estos valores de x es x menos 1 pero ahora esta expresión de aquí es continua para todos los números reales y como es continua aquí en este límite podemos simplemente sustituir el 1 por la equis y nos queda uno menos uno igual a cero que es el valor de g de uno así es que por el momento vamos muy bien pero nos falta encontrar el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de g de x ahora como x tiende a 1 por la derecha estás x son mayores que 1 por lo tanto queremos en este caso y aquí gx es igual a x menos 1 al cuadrado así es que podemos poner por acá g de x es x 1 al cuadrado pero ahora otra vez esta es una función que está definida en todos los números reales y es continua en todos los números reales así es que es un límite es equivalente a sustituir el 1 por acá y entonces nos queda uno menos uno al cuadrado o sea cero y ahora como tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha son iguales a cero entonces el límite cuando x tiende a 1 deje de x es igual a 0 que es justo el valor que toma g en 1 por lo tanto si es una función continua así es que podemos buscar en estas opciones y eliminar todas las que dicen que no es una función continua así es que podemos tachar esta y también podemos tachar esta otra y bueno ahora podemos ponernos a pensar en si g es diferenciable ahora que necesitamos que sea cierto para que sea una función diferenciable bueno pues necesitamos que el siguiente límite sea un límite definido necesitamos que el límite cuando x tiende a 1 deje de x menos g de uno entre x menos 1 necesitamos que este límite esté definido y para ver si es un límite definido tenemos que evaluar al límite por la izquierda y el límite por la derecha y ver si son iguales pero aquí podemos simplificarlo un poco porque ya sabemos que g de 1 es igual a 0 entonces no nos tenemos que preocupar por esto así es que vamos a ver si podemos encontrar el límite cuando x tiende a uno deje x entre x menos uno vamos a empezar encontrando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda gx / x1 ya que iba head x ahora como nos estamos aproximando a uno por la izquierda todos los valores de x son menores que 1 por lo tanto gx es igual a x menos 1 entonces podemos sustituir esto por acá y es lo que vamos a hacer ahorita poner por aquí x menos 1 ahora x menos 1 / x menos 1 esto es igual a 1 siempre y cuando x no tome el valor 1 pero aquí en este límite ninguna x es igual a 1 así es que esto es igual a 1 bueno y ahora vamos con el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de gx entre x menos 1 y cuánto es gd x bueno como estamos aproximando a 1 por la derecha todas las x que estamos considerando en este límite son mayores que 1 por lo tanto estamos en este caso y en este caso x es igual a x1 al cuadrado así es que podemos sustituir por acá g de x por x menos 1 al cuadrado ahora como aquí estamos tomando nada más el límite cuando x tiende a 1 no estamos evaluando en 1 entonces esto se puede simplificar y nos queda simplemente x menos 1 que nos queda simplemente x menos 1 para todas las x distintas de 1 la expresión que teníamos es igual a x menos 1 entonces como estamos sacando el límite tenemos aquí nada más x menos 10 esta función está definida y es continua en todos los reales así es que podemos simplemente sustituir el 1 y nos queda uno menos uno igual a cero y observa el límite por la izquierda es distinto del límite por la derecha de este límite que es la definición de la derivada de g en uno y eso significa que este límite no existe y por lo no es diferenciable en uno porque observa cuando nos aproximamos por la izquierda estamos en este caso la función se ve más o menos así tiene una pendiente de 1 pero cuando x llega a 1 la función g está definida de esta forma y su gráfica se ve más o menos así pero cuando x es igual a 1 la pendiente de este lado es 0 así es que la gráfica es continua definitivamente es continua pero la derivada no porque la pendiente cuando nos acercamos por la izquierda es 1 pero la pendiente cuando nos acercamos por la derecha es 0 así es que justo en este punto x igual a 1 la función no es diferenciable así es que la función g es una función continua pero no diferenciables