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Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidad 2

Lección 9: Derivadas de cos(x), sin(x), 𝑒ˣ y ln(x)

Cálculo de las derivadas de sin(x) y cos(x)

Prueba de que la derivad de sin(x) es cos(x) y de que la derivada de cos(x) es sin(x).

Las funciones trigonométricas sine, left parenthesis, x, right parenthesis y cosine, left parenthesis, x, right parenthesis juegan un papel importante en cálculo. Estas son sus derivadas:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[\sin(x)]&=\cos(x) \\\\ \dfrac{d}{dx}[\cos(x)]&=-\sin(x) \end{aligned}

Para seguir el curso de Cálculo AP, no necesitas saber la demostración de estas derivadas, pero creemos que siempre que la demostración sea accesible, hay algo que aprender de ella. En general, siempre es bueno buscar algún tipo de prueba o justificación de los teoremas que aprendes.

En primer lugar, nos gustaría encontrar dos límites complicados que se utilizan en nuestra prueba.

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

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Limit of sin(x)/x as x approaches 0Ver la transcripción del video

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

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Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Ver la transcripción del video

Ahora estamos listos para demostrar que la derivada de sine, left parenthesis, x, right parenthesis es cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

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Proof of the derivative of sin(x)Ver la transcripción del video

Por último, podemos utilizar el hecho de que la derivada de sine, left parenthesis, x, right parenthesis es cosine, left parenthesis, x, right parenthesis para mostrar que la derivada de cosine, left parenthesis, x, right parenthesis es sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

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Proof of the derivative of cos(x)Ver la transcripción del video

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Hugo Contento
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Brutal el ultimo lo logr...” de Hugo Contento
Brutal el ultimo lo logre entender despues de tanto susto que pase en youtube, y primero el profesor.
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Respuesta
- pa_u_los
  Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Si, veo un problema en el...” de pa_u_los
  Si, veo un problema en el título del último vídeo ya que la derivada de cos(x) es -sin(x).
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En primer lugar, nos gustaría encontrar dos límites complicados que se utilizan en nuestra prueba.

1. lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1x→0lim​xsin(x)​=1limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}=0x→0lim​x1−cos(x)​=0limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Ahora estamos listos para demostrar que la derivada de sin⁡(x)\sin(x)sin(x)sine, left parenthesis, x, right parenthesis es cos⁡(x)\cos(x)cos(x)cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

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1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Ahora estamos listos para demostrar que la derivada de sine, left parenthesis, x, right parenthesis es cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.