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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidad 1
Lección 5: Propiedades de límites- Propiedades de los límites
- Límites de combinaciones de funciones
- Límites de funciones combinadas: funciones definidas por partes
- Límites de funciones combinadas: sumas y diferencias
- Límites de funciones combinadas: productos y cocientes
- Teorema para límites de funciones compuestas
- Teorema para los límites de funciones compuestas: cuando no se cumplen las condiciones
- Límites de funciones compuestas: el límite interno no existe
- Límites de funciones compuestas: el límite externo no existe
- Límites de funciones compuestas
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Límites de funciones compuestas: el límite externo no existe
Encontrar el límite de g(h(x)) en x=1 cuando el límite de h(x) en x=1 es 2 y el límite de g(x) en x=2 no existe. ¿Eso significa que el límite compuesto no existe? ¡No necesariamente! Ve cómo lo analizamos. Creado por Sal Khan.
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- Por qué el segundo limite de la derecha no es 0?, parece que se acercó por la izquierda cuando sacó los limites, en vez de izquierda y derecha(22 votos)
- Con respecto al último ejercicio… en realidad, no hubo error. Al ser g(h(x)) una función compuesta los valores de x para la función g son los valores h(x) de la función h. En ese sentido, como los valores de h(x) cercanos a 2 son menores que 2, tanto por la derecha como por la izquierda, en la gráfica de la función g estos corresponderían a todos los valores menores que x=2. Es por ello, que al sacar el límite en la función g tiene que aproximarse por la izquierda.(3 votos)
- No entendi lo de "Tomamos valores por debajo de dos", o sea el limite porla derecha para mi daba cero... ¿Por qué se tomó el mismo valor que el limite por la izquierda?(6 votos)
- profe se le salio un gallito seg 0:8 jajaj(0 votos)
Transcripción del video
Por aquí tenemos dos funciones que han
sido definidas de forma visual o gráfica: a la izquierda tenemos la gráfica de g(x)
y a la derecha tenemos la gráfica de h(x), y lo que quiero que hagamos es encontrar el lim
g(h(x)) cuando x → 1. Pausa el video e intenta encontrar la respuesta. Bien, trabajemos juntos.
Lo primero que puedes tratar de hacer es buscar el lim x → 1 h(x), y cuando lo vemos en la gráfica
¿a qué será igual? Bueno, cuando nos aproximamos a x = 1 por la izquierda, parece que h(x) tiende
a 2; cuando nos aproximamos por la derecha, también parece que h(x) tiende a 2, así que parece
que este límite será 2. Entonces, podemos decir "Tal vez podemos poner este valor dentro de g.
¿Cuánto es g(2)?" Bueno, g(2) es 0, pero el límite no parece estar definido. Cuando nos aproximamos a
x = 2 por la derecha, parece que g(x) tiende a 0, y cuando nos aproximamos a x = 2 por la izquierda,
g(x) tiende a -2, así que tal vez este límite no existe. Pero si lo estás pensando así, nos falta
analizarlo un poco más, porque lo que debemos hacer es ver este límite en términos del límite
por la izquierda y del límite por la derecha, así que pensémoslo de esa forma. Primero pensemos
en cuál es el límite cuando x → 1 por la izquierda de g(h(x)). Bueno, si lo pensamos de esta forma,
cuando nos aproximamos a 1 por la izquierda, podemos ver que h(x) se aproxima a 2 también por
la izquierda, o podemos decir que se aproxima a 2 desde abajo, es decir, desde valores menores
que 2; por lo tanto, el valor que pongamos dentro de g(x) se aproxima desde abajo, desde valores
menores que 2, por lo tanto, lo que pongamos en g se aproxima a 2 desde valores menores que 2,
es decir, si nos aproximamos a 2 desde abajo, por aquí, ¿a qué se aproxima g? Parece que g se
aproxima a -2, así que parece que esto será -2, al menos el límite por la izquierda. Ahora
calculemos el límite por la derecha. ¿Cuál es el límite cuando x → 1 por la derecha de
g(h(x))? Bueno, podemos hacer lo mismo. Cuando nos aproximamos a 1 por la derecha, parece que h
se aproxima a 2 desde abajo, desde valores menores que 2; entonces, si nos aproximamos a 2 desde
valores menores, desde abajo -porque recuerda: sea cual sea la salida de h, será la entrada de
g-, por lo tanto, si lo que ingresamos en g se aproxima a 2 por debajo, significa que g, una
vez más, se aproximará a -2. Así que aquí tenemos un caso muy, muy, muy interesante, donde el lim
g(x) x → 2 no existe, pero cuando nos aproximamos desde ambos lados, desde la izquierda y desde
la derecha, h se aproxima a 2 desde abajo, y entonces en ambos casos podemos
pensar en el límite por la izquierda, cuando nos aproximamos a 2 desde abajo, o desde
la izquierda de g porque en ambas situaciones nos aproximamos a -2. Así que ese será el límite
que buscamos, cuando el límite por la derecha y el límite por la izquierda es el mismo; entonces,
ese será nuestro límite, es igual a -2.