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Límites en infinito de cocientes con funciones trigonométricas

En este video encontramos el límite de cosx/(x²-1) en el infinito, al acotarlo por los límites de dos funciones racionales, 1/(x²-1) y -1/(x²-1).

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Transcripción del video

veamos si podemos encontrar el límite cuando x tiende a infinito de x entre x cuadrada menos 1 y como siempre pausa el vídeo y ver si puedes encontrarlo por tu cuenta bueno hay un par de formas para trabajar este problema una es simplemente dar una razón del por qué llegamos a esa respuesta y decir mira este numerador de aquí de x para oscilar todo el tiempo entre menos uno y uno así que déjame escribirlo el coseno de x es por una parte siempre mayor o igual que menos 1 es decir menos 1 es menor o igual que el coste de x que a su vez es menor o igual que 1 entonces este numerador lo único que hace aquí sposi lar entre menos uno y uno mientras x se incrementa y ahora el denominador bueno tenemos x cuadrada menos 1 así que el numerador será cada vez más y más y más grande por esta x cuadrada este valor será muy muy muy muy grande mientras x incremente entonces algo que está acotado entre menos uno y uno dividido entre algo que es infinitamente grande a que se va a aproximar bueno esto se va a aproximar a cero y así llegamos a la respuesta bueno esa es una forma de trabajarlo otra forma va a ser llegar al mismo argumento pero trabajarlo de una manera un poco más matemática porque como sabemos el coche no está acotado entonces podemos decir y déjame escribirlo aquí que el coche no de x / x cuadrada menos 1 y bueno esto que acabo de escribir va a ser menor o igual y primero observa que lo más que puede valer este numerador el coste no de que es lo más que puede valer es 1 entonces esto es menor o igual que 1 / x cuadrada menos 1 y por otra parte esto será mayor o igual y ahora recuerda que lo menos que puede valer el coseno de x este numerador es menos uno entonces menos uno entre x cuadrada menos uno va a ser menor o igual en esta expresión que tengo aquí y una vez más estoy diciendo que coseno de x lo más que puede valer es un hombre y lo menos que puede valer es menos 1 y esto va a ser cierto para toda x entonces podemos decir que el límite cuando x tiende a infinito de esta primera expresión va a ser menor o igual que el límite cuando extiende infinito lejos de lo que buscamos y esto a su vez va a ser menor o igual que el límite cuando extiende infinito de esta segunda expresión de 1 entre ex cuadrada menos 1 y esto es cierto para todas x ahora puedes hacer el siguiente argumento a esta primera expresión le pasa lo siguiente lo de arriba es una constante y los de abajo tiende a infinito entonces esto de aquí va a tender a cero cuando x tiende a infinito y entonces me quedaría que 0 es menor o igual que el límite cuando x tiende a infinito de coseno de x / x cuadrada menos uno que es justo lo que buscamos esto a su vez va a ser menor o igual y observa que usted también va a ser cero tenemos un numerador constante y un denominador no acotado que tiende a infinito y entonces este de aquí también va a ser cero entonces el límite que buscamos tiene que estar entre 0 y 0 es decir 0 es menor o igual que el límite que buscamos que es menor o igual que 0 y entonces este de aquí este límite que buscamos tiene que ser cero y ya acabamos