Límites en infinito de cocientes con funciones trigonométricas (límite indefinido)

veamos si podemos encontrar cuánto es el límite cuando x tiende a infinito de x cuadrada más 1 entre el seno de x primero pensemos que pasan en el numerador y después pensaremos que le pasaría al denominador en el numerador tenemos x cuadrada más 1 así que cuando x crece y crece y crece y crece y se aproxima infinito entonces que le pasa a x cuadrada más 1 bueno parece que este numerador se aproxima a infinito aún más rápido entonces esta expresión va a tender a infinito mientras x tiende a infinito y ahora qué pasa con el denominador bueno el seno de x ya lo hemos visto antes el seno y el coseno de x son funciones agotadas ambas oscilan entre menos uno y uno así que menos uno es menor o igual que el seno de x que a su vez es menor o igual que uno entonces este denominador va a oscilar y que nos dice esto bueno ten cuidado porque tal vez estés tentado a decir si el denominador es oscila entre estos valores y el numerador tiende a infinito entonces toda la expresión va a tender a infinito pero ojo porque en primer lugar el denominador oscila entre valores positivos y negativos observa que el numerador se convierte cada vez más y más más positivo pero éste a su vez está dividido entre valores que a veces son positivos y a veces negativos entonces estamos dando saltos positivos negativo positivo negativo y eso no nos dice mucho y en segundo lugar tenemos estas locas a sin todas cada vez que el seno de x es igual a cero bueno en ese momento vas a tener una sim total vertical y esta expresión en total no estará definida entonces por un lado tenemos estas asiento estás verticales y por otro tenemos estas oscilaciones entre positivo y negativo y positivo y negativo con valores cada vez más y más y más grandes y con eso podemos concluir que este límite no existen es más déjame escribirlo existen y podemos verlo de manera gráfica para que puedas ver claramente lo que pusimos en palabras así que voy a traer por aquí la gráfica de esta función justo aquí déjame bajar un poco la pantalla y ahora podemos ver que mientras x se aproxima a infinito positivo se aproxima a infinito positivo dependiendo del valor que tome x vamos a tomar un valor muy grande y después tenemos una cinta vertical y después tenemos un valor muy negativo y después otra sin total vertical y arriba y después abajo y arriba y abajo y arriba y abajo las oscilaciones se vuelven cada vez más extremas y observamos que seguimos manteniendo estas assynt o estás verticales después de un cierto periodo y esta gráfica hace mucho más clara la idea de que en definitiva este límite no existe