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Límites en infinito de diferencias de funciones

Transcripción del video

en este vídeo vamos a tratar de calcular un límite de esta función para valores de x que se van haciendo cada vez más y más y más grandes es decir queremos calcular el límite de una función cuando x tiende a infinito así que esta función es la raíz cuadrada de 100 más x menos la raíz cuadrada de x y te invito a que hagas una pausa y que trates de descubrir cuál es este límite aunque sea intuitivamente así que suponiendo que ya hiciste esta pausa lo que podemos notar de este primer sumando es que si la equis es muy pero muy pero muy grande no sé quizás trillones mil trillones cuatrillones qué sé yo este cien es fijo y cada vez importa muy poco es decir este cien contribuye muy poquito esta suma cuando la x es cada vez más grande así que podríamos pensar y de hecho vamos a ir escribiendo estas ideas que para valores valores x digamos realmente grandes realmente grandes grandes y voy a subrayar el realmente nosotros podemos pensar que raíz de 100 más x esta raíz pues se parecerá a la raíz de x verdad porque el 100 cada vez contribuye muy poquito en relación de qué tan grande se va haciendo nuestra x así que podríamos pensar que cómo se va apareciendo el límite cuando x tiene infinito de esto pues va a ser cero porque se van a aparecer cada vez más muy bien entonces bueno esto por supuesto no es una demostración de nuestro de nuestra intuición esto es algo que creemos creemos que es cero pero hay que dar un argumento algebraico o un argumento matemático concreto y correcto así que vamos a manipular algebraica mente esta expresión tenemos la raíz la raíz cuadrada de gm grueso la raíz cuadrada de 100 más x raíz cuadrada de 100 más x le restamos la raíz cuadrada de x así que para modificar esto lo que necesitamos es encontrar alguna forma de cambiar esta expresión pero sin cambiar su valor por ejemplo multiplicando por 1 si nosotros multiplicamos esto por 1 pues queda igual sin embargo hay que elegir un uno adecuado es decir una forma de escribir uno de forma correcta y una forma de escribir uno es por ejemplo si si multiplicamos esto por su conjugado por ejemplo si multiplicamos por raíz de 100 más x ahí lo tienen más la raíz de equis y hay que dividir entre lo mismo para que nos dé 1 que es la raíz de 100 más x más la raíz de x ahora porque elegimos esto bueno pues esencialmente es porque las raíces cuadradas nos nos causan conflictos no nos gustan así que si multiplicamos por el conjugado podemos hacer uso de que esto nos va a dar una diferencia de cuadrados y eso eliminaría nuestras raíces cuadradas muy bien entonces vamos a ver esto que es lo que nos quedaría bueno vamos a dejar este denominador que es la raíz de 100 más x es la raíz cuadrada de equis y luego quedaría arriba y vamos a dejarlo con rojo nos quedaría la raíz cuadrada de 100 más x menos la raíz cuadrada de x que multiplica que multiplica al otro factor que es la raíz cuadrada de 100 más x perdón aquí sería más la raíz cuadrada de x muy bien entonces qué es lo que nos va a dar esto si nos damos cuenta este es un producto de la forma a menos ve por a más ve entonces lo que nos va a quedar es una diferencia de cuadrados donde vamos a elevar este al cuadrado que es igual a éste y luego vamos a restarle este al cuadrado este al cuadrado muy bien entonces que es lo que nos queda tendremos 100 más x 100 más x raíz cuadrada al cuadrado es 100 más x verdad menos raíz de x al cuadrado es x muy bien y todo esto lo dividimos entre lo que ya tenemos en el denominador que es raíz de 100 raíz de 100 más x la raíz de x muy bien y esto que será igual bueno estos estas x se cancelan verdad y simplemente nos queda lo siguiente nos queda 100 entre esta raíz de 100 más x más la raíz de x por lo tanto este límite original que queríamos calcular lo podemos reescribir de la siguiente forma déjenme quitar este igual que no iba a y ahí está entonces el límite original va a ser el límite cuando x tiende a infinito de quien de 100 de 100 entre la raíz de 100 x más la raíz de x ahora la ventaja que tenemos es que el numerador ya es fijo este ya es fijo y no cambia en cambio acá abajo acá abajo estamos aumentando el valor de x cada vez más esta función de aquí es no acotada se va calculando la raíz de 100 más trillones más la raíz de trillones entonces esto de aquí se va haciendo cada vez más y más y más grande pero está en un denominador por lo tanto este número 100 se va dividiendo entre partes cada vez más y más y más grandes así que esto se aproxima exactamente a cero muy bien lo cual fue muy consistente con nuestra intuición original pero esto ya es una demostración