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Estimación de valores de límites a partir de gráficas

La mejor forma de empezar a razonar sobre los límites es usar gráficas. Aprende cómo se analiza un límite gráficamente y estudia casos donde el límite no existe.
Hay una diferencia importante entre el valor al que se aproxima una función, que llamamos límite, y el valor de la función en sí. Las gráficas son una buena herramienta para comprender esta diferencia.
Se grafica y se anima una función. El eje x va de 0 a 3. La gráfica es una curva que empieza en (0, 0.5), se mueve hacia abajo pasando por un círculo abierto aproximadamente en (2, 0.25). Un puntero mueve un punto sobre la curva en dirección del círculo abierto desde la izquierda y la derecha. Los valores se acercan a 0.25. En el círculo abierto, las coordenadas se muestran como (2, undefined), o bien, (2, indefinido).
desmos.com para inspeccionar el limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction
Observa cómo, al acercarnos más y más a x=2 tanto por la izquierda como por la derecha, parece que nos aproximamos a y=0.25.
En el ejemplo anterior, vemos que el valor de la función no está definido, pero el valor del límite es aproximadamente 0, point, 25.
Recuerda que estamos tratando con una aproximación, no con un valor exacto. Podemos acercarnos más para obtener una mejor aproximación si queremos.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ponen de relieve casos interesantes del uso de gráficas para aproximar límites. En algunos de ellos, el valor del límite y el valor de la función son iguales, y en otros no.

A veces el valor del límite es igual al valor de la función.

Problema 1
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Se grafica la función g. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de 1 curva. La curva empieza aproximadamente en (menos 7, menos 8) y se mueve hacia arriba pasando por un punto en x = 1 entre y = menos 1 y y = menos 2, más cerca de y = menos 1. La curva termina en el cuadrante 1.
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Pero, a veces, el valor del límite no es igual el valor de la función.

Cuando tratas con una función definida por partes, es posible obtener una gráfica como la siguiente.
Problema 2
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
Se grafica la función g. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de una curva y de un círculo cerrado. La curva empieza aproximadamente en (menos 8, 6), se mueve hacia abajo aproximadamente a (menos 3, 3.5) y se mueve hacia arriba pasando por un círculo abierto en x = 1, justo arriba de y = 4. La curva termina en el cuadrante 1. Un círculo cerrado está graficado en x = 1, justo abajo de y = 2.
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Punto importante: es posible que el valor de la función sea diferente del valor del límite.

Y aún cuando una función no esté definida para algún valor de x, no significa que no exista el límite.

Los huecos en las gráficas ocurren con funciones racionales, que no están definidas cuando sus denominadores son cero. He aquí un ejemplo clásico:
Se grafica una función. El eje x va de menos 3 a 3. La gráfica es una curva en forma de U que empieza aproximadamente en (menos 2.5, 4), se mueve hacia abajo a un círculo abierto en (0, 1), se mueve hacia arriba y termina aproximadamente en (2.5, 4).
Esta es la gráfica de y = x / sin(x). Observa que hay un hueco en x = 0, pues la función no está definida en ese punto.
En este ejemplo, el límite parece ser 1 porque a eso parecen acercarse los valores de y cuando nuestros valores de x tienden más y más a 0. No importa que la función no esté definida en x, equals, 0, el límite sí existe.
Aquí hay problema para que practiques:
Problema 3
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Se grafica la función f. El eje x va de menos 8 a 8. La gráfica consta de una curva. La curva empieza en el cuadrante 2 y se mueve hacia abajo pasando por un círculo abierto en x = menos 4, justo arriba de la línea de cuadrícula de y = 3. La curva termina en el cuadrante 4.
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Reforzar la idea clave: el valor de la función en x, equals, minus, 4 es irrelevante para encontrar el límite. Lo único que importa es averiguar a dónde tienden los valores de y conforme nos acercamos más y más a x, equals, minus, 4.

Por otro lado, cuando la función está definida para un valor de x, eso no quiere decir que el límite necesariamente existe.

Tal como en un ejemplo previo, esta gráfica muestra la clase de cosas que pueden ocurrir al trabajar con funciones definidas por partes. Observa que no nos acercamos al mismo valor de y desde ambos lados de x, equals, 3.
Problema 4
¿Cuál es una estimación razonable para limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Las calculadoras gráficas son ahora muy sofisticadas.

Las calculadoras que grafican, como Desmos, pueden darte una buena idea de lo que le ocurre a los valores de y a medida que te acercas más y más a un cierto valor de x. Intenta usar una de esas calculadoras para estimar estos límites:
limx0xsin(x)limx3x3x29\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sin(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}
En ambos casos, la función no está definida en el valor de x al cual nos acercamos, pero el límite existe y podemos estimarlo.

Preguntas de resumen

Problema 5
¿Es siempre cierto que limit, start subscript, x, \to, a, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, a, right parenthesis?
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Problema 6
¿Cuál proposición describe mejor la manera como las gráficas nos ayudan a razonar acerca de los límites?
Elige todas las respuestas adecuadas:
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