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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidad 1
Lección 1: Introducción a límitesIntroducción a límites
Los límites describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo.
Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2.
El límite de f en x, equals, 3 es el valor al cual se aproxima f a medida que nos acercamos más y más a x, equals, 3. Gráficamente, es el valor de y al que tendemos en la gráfica de f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde x, equals, 3.
Por ejemplo, si partimos del punto left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de x, equals, 3, entonces nuestro valor y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de 5.
Similarmente, si empezamos en left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de x, equals, 3, el valor y nuevamente estará muy cerca de 5.
Por estas razones, decimos que el límite de f en x, equals, 3 es 5.
Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de f en x, equals, 3 y el valor de f en x, equals, 3, es decir, f, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Y sí, el límite de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 en x, equals, 3 es igual a f, left parenthesis, 3, right parenthesis, pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función g. Esta función es igual a f, excepto que no está definida para x, equals, 3.
Tal como con f, el límite de g en x, equals, 3 es 5. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a x, equals, 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a 5.
Así que el límite de g en x, equals, 3 es igual a 5, ¡pero el valor de g en x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!
Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.
Tenemos también una notación especial para hablar de límites. Así es como escribimos el límite de f cuando x se acerca (o tiende a) 3:
El símbolo limit significa que tomamos el límite de algo.
La expresión a la derecha de limit es la expresión de la cual tomamos el límite. En nuestro caso, se trata de la función f.
La expresión x, \to, 3 que aparece debajo de limit significa que tomamos el límite de f a medida que los valores de x se acercan a 3.
En los límites, queremos estar infinitamente cerca.
¿Qué queremos decir con "infinitamente cerca"? Examinemos los valores de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 a medida que los valores de x se acercan mucho a 3. (Recuerda que al hablar de límites no nos interesa f, left parenthesis, 3, right parenthesis en sí).
| x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| 2, point, 9 | 4, point, 9 |
| 2, point, 99 | 4, point, 99 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray |
Podemos ver que cuando los valores de x son menores que 3, pero se acercan más y más, los valores de f se acercan más y más a 5.
| x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
|---|---|
| 3, point, 1 | 5, point, 1 |
| 3, point, 01 | 5, point, 01 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 3, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 5, end subscript, end color gray |
También vemos que cuando los valores de x son mayores que 3, pero se acercan más y más, los valores de f se acercan más y más a 5.
Observa que con lo que más nos acercamos a 5 es con f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 y f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001, que están a 0, point, 001 unidades de distancia de 5.
Podemos acercarnos más, si así lo deseamos. Por ejemplo, supongamos que queremos estar a 0, point, 00001 unidades de 5; entonces podemos escoger x, equals, 3, point, 00001 y en ese caso f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.
Esto no tiene fin. Siempre podemos acercarnos más a 5. Pero ¡de eso se trata "infinitamente cerca"! Como "infinitamente cerca" no es posible en la realidad, lo que queremos decir con limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 es que no importa cuánto queramos acercarnos a 5, existe un valor de x muy cercano a 3 que nos llevará ahí.
Si esto te parece difícil de captar, quizá esto te ayude: ¿cómo sabemos que hay un número infinito de números enteros diferentes? No es como si los contáramos todos y llegáramos a infinito. Sabemos que son infinitos porque para cada número entero hay uno que es aún mayor que ese. Siempre hay otro, y otro más.
En límites no queremos llegar a "infinitamente grande", sino ir "infinitamente cerca". Cuando escribimos limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, queremos decir que siempre podemos estar más y más cerca de 5.
Otro ejemplo: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared
Analizemos limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, que es el límite de la expresión x, squared cuando x se acerca a 2.
Podemos ver en la gráfica que cuando nos acercamos al punto donde x, equals, 2, los valores de y están más y más cerca de 4.
También podemos observar esta tabla de valores:
| x | x, squared |
|---|---|
| 1, point, 9 | 3, point, 61 |
| 1, point, 99 | 3, point, 9601 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray |
| x | x, squared |
|---|---|
| 2, point, 1 | 4, point, 41 |
| 2, point, 01 | 4, point, 0401 |
| start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 2, end subscript, end color gray | start color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, c, e, r, c, a, space, d, e, space, end text, 4, end subscript, end color gray |
También podemos ver cómo nos podemos acercar a 4 tanto como queramos. Supongamos que queremos estar a menos de 0, point, 001 unidades de 4. ¿Cuál valor de x cercano a x, equals, 2 podemos escoger?
Intentemos x, equals, 2, point, 001:
Este valor está a más de 0, point, 001 unidades de 4. Bueno, intentemos x, equals, 2, point, 0001:
¡Este valor ya está suficientemente cerca! Al intentar valores de x que están más y más cerca de x, equals, 2, podemos acercarnos aún más a 4.
En conclusión, limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.
Un límite debe ser el mismo desde ambos lados.
Si regresamos a f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 y limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, podemos ver cómo se aproxima a 5, ya sea que los valores de x cerzcan hacia 3 (lo que se llama "acercarse por la izquierda"), o bien decrezcan hacia 3 (lo que se llama "acercarse por la derecha").
Ahora considera, por ejemplo, la función h. El valor de y al que nos acercamos, cuando los valores de x tienden a x, equals, 3, depende de si hacemos esto desde la izquierda o desde la derecha.
Cuando nos acercamos a x, equals, 3 por la izquierda, la función tiende a 4. Al acercarnos a x, equals, 3 por la derecha, la función tiende a 6.
Cuando una función no se aproxima al mismo valor por ambos lados, decimos que el límite no existe.
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Al principio no entendi, pero al final tampoco(92 votos)- Léelo de nuevo y intenta explicártelo a ti mismo con tus propias palabras también busca la lógica y el patrón de los problemas(1 voto)
- Al principio se me dificulto pero ya después poco a poco fui entendiendo(21 votos)
en mi universidad me dieron una introducción de dos minutos y tres párrafos y creí que no entendería esto nunca, gracias por enseñarme lo básico(17 votos)- Aunque entiendo como funcionan los limites y como se aplican a las funciones (hasta ahora), la verdad aun no entiendo como pueden ser aplicables en la vida, en que me pueden ayudar. No encuentro una razón lógica de ser.(13 votos)
Es una pregunta muy capciosa, porque en la vida no se ocupa para nada pero en la vida profesional sirve mucho para determinar valores numéricos y analizar datos, entre otras aplicaciones.(2 votos)
- En la Universidad nunca entendí limites, pero por circunstancias de la vida me encontré este curso y lo entendí super y con guías de libro mucho mas, ya en la universidad no entro a las clases de ningún calculo, en este curso me preparo para mis parciales y me va super, me fascina este curso.(8 votos)
- aún no entiendo bien lo de la g
pero no esta tan dificil(4 votos)- Es lo mismo que poner f, f(x)(3 votos)
- Lo que me confunde es cómo uno se acerca por la derecha porque podría hacer la misma ruta.(4 votos)
- para llegar al límite puede llegar desde dos rutas diferentes, desde la izquierda y desde la derecha, si desde dos puntos diferentes no se llega al mismo límite, se dice que ese límite no existe.(2 votos)
- Excelente explicación, 10/10.(4 votos)
