Ejemplo resuelto: continuidad en un punto (gráficamente)

justo aquí tenemos la gráfica de igual a de x y lo que quiere hacer es bueno comprobar cuáles de estas opciones son realmente verdaderas y seleccionarlas y como siempre los invito a pausar el vídeo y vean se pueden resolver esto por su cuenta así que vamos a echar un vistazo a esta primera opción ambos tanto el límite cuando x tiende a 6 por la derecha dgt x como el límite cuando extiende a 6 por la izquierda deje de x existen entonces primero vamos a pensar en el límite deje de x por la derecha es decir nos vamos a aproximar a 6 x valores más grandes que 6 así que se observó cuando x vale 979 está por aquí cuando x vale 8 de 8 está por aquí cuando x vale 777 está por aquí observamos estamos entre menos 4 y menos tres cuando x vale 6.5 de 6.5 por aquí se está aproximando más al menos 3 cuando nos fijamos en gm de 6.1 estamos como por aquí cuando nos fijamos en x igual a 6.0 1 que de 6.01 está como por aquí es decir nos estamos acercando y acercando y acercando al valor de menos 3 eso quiere decir que el límite cuando extiende a 6 por la derecha dgt x este límite que tenemos aquí si existen y de hecho este límite es igual a menos 3 ok entonces este si existe ahora vamos a pensar qué es lo que pasa con el límite cuando x tiende a 6 por la izquierda deje de x y bueno recuerda que solo lo estoy viendo de manera gráfica esto es lo que esperan que hagamos en este ejercicio por lo tanto vamos a empezar en cualquier lado que te parece si nos fijamos en cuánto vale que cuando x es igual a tres cuando x es igual a 3 g3 toman este valor un poco arriba de 1 cuando x vale 4 es de 4 tomamos este valor que es ligeramente abajo de 2 cuándo x toma el valor de 575 toma este valor que es parecen 3 cuando x toma el valor de 5.5 parece que tomamos este valor que es ligeramente abajo de cinco cuando x toma el valor de 5.75 observa que tomamos este valor que es cercano a 9 y entre más nos acerquemos más grande va a ser el valor que tomamos ángel esto a medida que nos acerquemos más y más y más a 6 por la izquierda por valores más pequeños que 6 entonces podemos decir que en este caso la función no está acotada nos aproximamos a infinito ahora bien técnicamente diríamos que este límite no existe entonces voy a tachar este porque no existe y por lo tanto no puedo seleccionar esta opción porque este límite no existe algunas personas dirán que el límite este que tenemos aquí se está aproximando infinito pero técnicamente el infinito no es un valor al cual puedas decir que te estás aproximando en la definición formal clásica de un límite decimos que el límite no existe bueno vayamos a la segunda opción dicen el límite cuando x tiende a 6 dgt x existe bueno la única forma en la que exista el límite es si ambos límites tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y además se aproximan a lo mismo así que en este caso nuestro límite cuando x tiende a 6 por la derecha existen pero el límite cuando x tiende a 6 por la izquierda ni siquiera existe así que esta opción en definitiva no puede ser verdadera por lo tanto también la voy a tachar así que estas dos no son opciones correctas y vamos a la tercera que está definida en x igual a 6 bien pues si nos fijamos en su gráfica me aparecen que no está observa si nos fijamos en cuál es el valor de g cuando x es igual a 6 bueno por este lado tenemos un círculo abierto por lo tanto no estamos tomando ese valor no es igual a menos 3 y por el otro lado tenemos un asiento tabla porque por aquí se va hasta infinito esto es lo que está pasando en x igual a 6 por tanto que tampoco está definida en x igual a 6 por eso voy a cancelar esta opción así que las 3 primeras no son correctas vamos a ver esta que es continua en x igual a 6 bien puedes ver que por este lado su vez a infinito y da un salto enorme y después llegamos por acá y continuamos así que con un poco de sentido común podemos decir que esto es bastante discontinuo ahora si lo quieren pensar más formalmente para que algo sea continuo el límite necesita existir y la función tiene que estar definida en ese valor y tiene que ser igual al límite y observa ninguna de estas dos opciones existen por lo tanto puedo concluir sencillamente que g no es continua en x igual a 6 así que lo único que puedo seleccionar en esta ocasión es ninguna de las anteriores ninguna de las anteriores es mi opción correcta bien vamos a hacer un ejercicio más entonces lo primero que nos dicen es que ambos tanto el límite cuando x tienden en este caso a 3 por la derecha deje de x como el límite cuando extiende a 3 por la izquierda deje de x existen así que vamos a hacer lo mismo primero me voy a fijar en qué es lo que pasa cuando nos acercamos a 3 x a la derecha por valores más grandes que 3 entonces observa esta gráfica aquí tenemos esta pequeña discontinuidad y vamos a fijarnos en qué es lo que pasa cuando nos acercamos al valor de 3 por valores más grandes que 3 entonces cuando x vale 5 g de 5 están como por aquí es un poquito más pequeño que menos tres cuando x vale 4 g de 4 está por aquí esto es un poquito más grande que menos 3 cuando tomamos el val de 3.5 g de 3.5 está como por aquí parece que es menos 2.5 por ahí cuando tomamos el valor en x de 3.1 observamos que gm de 3.1 está como por aquí nos vamos acercando al menos 2 y se observa ser de 3.0 uno está más cerca que menos 2 por lo tanto podemos decir que este límite el límite de gtx cuando x tiende a 3 por la derecha existe y de hecho va a ser igual a menos 2 muy bien así que ya tenemos esta primera parte ahora vamos a fijarnos en qué es lo que pasa con la otra parte quiero aplicarme en el límite me deje de x cuando x tiende a 3 por la izquierda pero por valores más pequeños así que vamos a fijarnos un poco si observas si x valer 1 entonces que de 1 parece que es un poquito más grande que menos 1 si x vale 272 ahora está por acá toma el valor como del 0 5 más o menos gente de 2.5 me parece que es muy cercano a 1 es un poquito arriba de 1 g de 2.99 parece que es muy pero muy muy cercano a 2 gente 2 puntos 99 9999 es muy muy muy cercano a todos cuando le aplicamos la función por lo tanto observamos que este límite también existen así que este límite existe y de hecho es igual a 2 por lo tanto ambos tanto este límite como este otro límite existen y por lo tanto esta es una opción correcta muy bien bueno entonces vayamos a la siguiente el límite de gtx cuando x tiende a 3 existe ahora observa estos dos son límites unilaterales el límite cuando x tienta 3 por la derecha y el límite cuando extiende 3 por la izquierda aquí queremos el límite completo el límite real para que este límite existan ambos límites tanto el de la derecha como el de la izquierda deben existir y necesitan aproximarse al mismo valor ahora en esta primera opción vimos que estos límites existen pero observa que no se están aproximando al mismo valor por la derecha nos estamos aproximando a menos 2 y por la izquierda nos estamos aproximando al valor de 2 así que este límite el límite cuando extiende a 3 dgt x no existe no existe bien ahora vayamos a lo siguiente me dicen que está definida en x igual a 3 bueno si observamos en x igualdad 3 podemos ver que aquí tenemos este punto sólido que nos marcan que si está definida y de hecho que de 3 es igual a menos 2 entonces ésta sí es una opción correcta si estamos definidos en x igual a 3 gm es continua en x 3 bueno para que sea continua en x igual a 3 el límite dgt x cuando x tiende a 3 debe existir además la función debe estar definida en el que se iguala 3 y el valor que toma la función en x igual a 3 debe de ser igual al límite me deje de x cuando x tiende a 3 estos dos valores tendrían que ser iguales pero en este caso ni siquiera existe el límite cuando x tiende a 3d gdx así que esta función en definitiva no puede ser continua por lo tanto voy a tener esta opción puedes verlo aquí tenemos una discontinuidad y bueno tampoco voy a seleccionar ninguna de las anteriores porque ya hemos seleccionado algunas opciones acá 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