Límite de (1-cos(x))/x conforme x tiende a 0

en este vídeo vamos a encontrar cuánto vale el límite cuando x tiende a cero de uno menos coseno de x / x y lo que vamos a suponer en esta ocasión y esto es muy importante es que el límite cuando x tiende a cero del seno de x / x es igual a 1 en esta ocasión no probaré de nuevo este límite pero existe otro vídeo completo en la canaca deming dedicado a probar este famoso límite usando el teorema de comparación del sándwich bueno intentemos ahora probar el límite inicial así que lo primero que haremos es manipular algebraica mente esta expresión multiplicando tanto el numerador como el denominador por uno más coseno de x ok y para el denominador hay que hacer lo mismo lo voy a multiplicar por uno más el coseno de x y bueno no estoy cambiando el valor de esta expresión esto es simplemente multiplicar por 1 pero en que nos ayudan bueno es que ahora puedo reescribir toda esta expresión como el límite cuando extiende a 0 de i observa 1 - coseno de x por uno más coseno de x esto es igual a bueno uno elevado al cuadrado lo cual es uno menos coseno de x elevado al cuadrado lo cual es coseno cuadrado de x es una diferencia de cuadrados y en el denominador voy a tener que esto es simplemente pues x por uno más posee no de x ahora cuánto es uno menos coseno cuadrado de x bueno si usamos la famosa identidad trivundza métrica pitagórica esto es lo mismo que el seno cuadrado de x y por lo tanto puede reescribir todo esto como el límite cuando x tiende a cero dm y bueno en lugar de escribir el seno cuadrado de x voy a escribirlo como el seno de x por el seno de x déjame escribirlo seno de x por el seno de x entonces me queda el límite cuando existente a cero en el seno de x / x tomándome solamente el primer seno de x y dividiéndolo entre esta x seno de x / x x y ahora me tomaré el segundo seno de x y lo voy a dividir entre 1 + coseno de x seno de x entre 1 + coseno de x hasta este momento lo único que he hecho es usar la identidad trigonométricas pitagórica y manipular la expresión de una manera algebraica bien aquí tengo el límite del producto de dos expresiones así que esto es lo mismo que el producto de los límites esto va a ser igual al límite cuando x tiende a cero de seno de x / x de acero de x / x por el límite cuando x tiende a 0 del seno de x entre 1 + coseno de x pero ya sabemos cuánto vale el límite cuando x tiende a cero de seno de x / x fue lo que dijimos el inicio del vídeo me recuerdas cuánto vale el límite cuando x tiende a cero de seno de x / x bueno como puedes ver acá arriba dijimos que es igual a 1 así que este límite se reduce simplemente a saber cuánto vale este otro límite así que veamos qué es lo que pasa con él si ahora sustituimos por el valor de cero porque x se aproxima a cero entonces observa en el numerador esto se aproxima a 0 seno de 0 0 y el denominador se aproxima bueno conociendo de cero es 1 entonces lo de abajo se aproxima a 2 es algo distinto de 0 y por lo tanto toda esta expresión se está aproximando a 0 entre 2 o simplemente a 0 y 1 por 0 0 y eso quiere decir que todo este límite es simplemente cero y ya hemos acabado usando este límite que escribimos en un principio y algunas identidades trigonométricas y bastante manipulación es sencilla llegamos al resultado pudimos demostrar que nuestro límite original el límite cuando x tiende a 0 de 1 - coseno de x / x es igual a 0 y te encargo que lo graphic es para que veas que en efecto esto tiene todo el sentido del mundo y así también lo compruebes de una manera visual nos vemos en el siguiente vídeo