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Movimiento sobre una curva: encontrar la razón de cambio

Transcripción del video

nos dicen que una partícula se mueve a lo largo de la curva x cuadrada porsche cuadrada igual a 16 por lo que la coordenada x cambia a una tasa constante de menos dos unidades por minuto cuál es la tasa de cambio en unidades por minuto de la coordenada quiere la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 1,4 bueno vamos a reescribir lo que nos están diciendo la curva está escrita por equis cuadrada de cuadrada igual a 16 es lo que nos dicen aquí y también nos dicen que la coordenada x cambia a una tasa constante vamos a subrayar es la coordenada x cambia a una tasa constante de menos dos unidades por minuto así que podemos decir que the x lo escribiré del lado derecho de equis entre dt la tasa de cambio de la coordenada x respecto al tiempo es igual a menos dos unidades entre minuto y nos piden que calculemos cuál es la tasa de cambio de la coordenada que de la partícula vamos a subrayar es cuál es la tasa de cambio de la coordenada que de la partícula entonces nos piden que calculemos de que el dt eso a que es igual si nos dicen que la partícula se encuentra en el punto 1,4 bueno cuando x es igual a 1 si x es igual a 1 y ye es igual a 4 hay alguna ecuación que podamos usar que involucre la tasa de cambio de x con respecto a t jet con respecto a 'the x y ye bueno qué pasa si sacamos la derivada de esta función que describe la curva qué les parece si sacamos la derivada con respecto a t en ambos lados de la ecuación escribamos eso mejor mover esto para que tengamos más espacio vamos a sacar la derivada con respecto a t en ambos lados de la ecuación si en algún momento se sienten inspirados los invito a que pausa en el video y traten de resolver los test primer bueno vamos a ver del lado izquierdo si vemos esto como el producto de dos funciones podemos sacar la derivada de la primera función que es la derivada de x cuadrada con respecto a t y eso es igual a 2 x y recuerden no solamente estamos sacando la derivada con respecto a x sino también con respecto a t así que necesitamos aplicar la regla de la cadena entonces nos queda que la derivada de x cuadrada con respecto a x2 x por la derivada de x con respecto a t entonces por dx de t de t y después vamos a multiplicar eso por la segunda función que es que cuadran entonces porsche cuadrada más la primera función que es x cuadrada por la derivada de la segunda función con respecto a t que nuevamente si aplicamos la regla de la cadena la derivada de que cuadrada con respecto a che es igual a todos che y después por la derivada de ye con respecto a t entonces por the yeah dt d y esto es igual a la derivada de 16 con respecto a t pero como esto no cambia con el tiempo es igual hacer ahí está y vamos a simplificar esto un poco mire ya tenemos una ecuación que relaciona a la derivada de x con respecto a t con la derivada de jake con respecto a t entonces déjenme reescribir esto una vez más para que podamos simplificarlo pues lo que queremos es despejar deie dt mejor de una vez vamos a sustituir los valores nosotros queremos saber qué es lo que pasa cuando x es igual a 1 entonces ya sabemos que x es igual a 1 y x cuadrada es uno al cuadrado así que es igual a una y también sabemos que es igual a 4 entonces esto es igual a 16 y esto es igual a 8 y sabemos que la derivada de x con respecto a t es menos dos nos lo dijeron en el enunciado esto es igual a menos 2 o keith entonces simplifiquemos todo esto vamos a ver todo esto es igual a todos por uno por menos dos eso es igual a menos cuatro por 16 entonces esto es igual a menos 64 y después tenemos todo esto que es igual a uno por ocho de ye dt que es igual a 8 de ye dt entonces +8 por la derivada de ye con respecto a t y esto es igual a hacer ahora si sumamos 64 en ambos lados nos queda que ocho por la derivada de gec con respecto a t es igual a 64 y al dividir ambos lados entre 8 nos queda que la derivada de che con respecto a t es igual a 64 entre 8 y eso es igual a 8 entonces es igual a 8 unidades unidades entre minuto 8 unidades por minuto y lista