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Movimiento sobre una curva: encontrar la magnitud del vector de velocidad

Transcripción del video

una partícula se mueve a lo largo de la curva x ye igual a 16 por lo que la coordenada que incrementa déjenme subrayar eso la coordenada ley incrementa a una tasa constante de dos unidades por minuto eso significa que la tasa de cambio de jeff con respecto a t es igual a todos cuál es la magnitud en unidades por minuto del vector de velocidad de la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 4,4 bueno x es igual a 4 y llegué es igual a 4 ok pero primero recordemos que es un vector de velocidad a nuestra velocidad está en función del tiempo y tendrá dos componentes pero cuál es la tasa de cambio en la dirección x y cuál es la tasa de cambio en la dirección ye bueno la tasa de cambio en la dirección x este x dt y la tasa de cambio en la dirección ye stege dt y nos dicen que de jette es una constante es igual a dos unidades por minuto pero no nos están pidiendo el vector de velocidad por sus componentes sino que nos están pidiendo la magnitud nos piden la magnitud del vector de velocidad de la partícula entonces si tenemos un vector supongamos que tenemos el vector a este vector tiene los componentes de hice así que la magnitud de este vector que lo pueden encontrar escrito así o así con dos barras y esto proviene del teorema de pitágoras la magnitud del vector a es igual a la raíz cuadrada debe cuadrada más se cuadrada por lo tanto en este caso es la raíz cuadrada del componente x al cuadrado más el componente che al cuadrado entonces si queremos calcular la magnitud de nuestro vector de velocidad es decir la magnitud del vector de velocidad de la partícula bueno podemos decir la magnitud del pp en función de té es igual a la raíz cuadrada del componente x al cuadrado que en este caso es la tasa de cambio de x con respecto al tiempo al cuadrado más el componente que al cuadrado que en este caso es la tasa de cambio de ye con respecto a t al cuadrado y cómo podemos resolver esto cómo podemos calcular estas dos cosas bueno ya sabemos que la tasa de cambio de jeff con respecto a t es una tasa constante de dos unidades por minuto entonces ya sabemos que esto es igual a 2 por lo tanto todo esto es igual a 4 y cómo calculamos la tasa de cambio de x con respecto a t bueno para eso podemos usar la ecuación original que describe la curva y podemos sacar la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a t eso nos dará una ecuación que involucra a x ye con dx dt y de jette entonces hagamos eso tenemos que quisiese es igual a 16 y vamos a sacar la derivada de esto con respecto a te lo escribiré de otro color vamos a sacar la derivada con respecto a 'the de todo esto y la derivada con respecto a t de este lado ahora del lado izquierdo tenemos un producto de dos funciones entonces miren si decimos que x es una función de te pille también es una función dt aquí podemos aplicar la regla del producto y la regla de la cadena esto es igual a la derivada de la primera función la derivada de x con respecto a x que es uno por la derivada de x con respecto a t por la segunda función es decir porsche más la primera función que es x x y cuál es la derivada de ye con respecto a che claro es igual a uno y después cuál es la derivada de con respecto a t bueno es igual a teie dt y eso es igual a la derivada de una constante y eso es igual a hacer ahora cómo podríamos simplificar esto bueno en realidad ya no necesitamos simplificar lo mejor simplemente vamos a sustituir los valores y calculemos tx de ti sabemos que de 7 es igual a todos y nos piden la magnitud del vector de velocidad de la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 4,4 entonces cuando x es igual a 4 x es igual a 4 y llegué es igual a 4 y llegué es igual a 4 bueno esta es la ecuación que podemos usar pues sólo tenemos una incógnita que es la tasa de cambio de x con respecto a t en el punto 4,4 entonces si resolvemos esto podemos sustituir lo aquí y calcular la magnitud del vector de velocidad vamos a escribirlo aquí tenemos cuatro tx dt +4 por 28 y esto es igual a cero entonces si restamos menos 8 en ambos lados nos queda 4dx dt y al dividir ambos lados de la ecuación entre cuatro nos queda que dx dt es igual a menos dos por lo tanto en este punto el cambio en x con respecto a t es igual a menos dos y si lo elevamos al cuadrado nos queda cuatro por lo tanto la magnitud de nuestro vector de velocidad es igual a la raíz cuadrada de 4 + 4 que es igual a 8 y eso es igual a 4 x 2 entonces esto es igual a todos por la raíz cuadrada de dos unidades por minuto esta es la magnitud del vector de veloz y está