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La definición formal de la derivada como un límite

Transcripción del video

nuestro primer contacto con el concepto de la pendiente de una línea normalmente ocurre a inicios de los cursos de álgebra y aquí vamos a recordar un poco de esto dibujamos nuestro eje este es nuestro eje de las diez o debería decir nuestro eje de fx y ahora voy a dibujar mi eje de las x aquí está mi gx y ahora voy a dibujar una línea más o menos así y lo que queremos hacer es acordarnos de cómo calcular la pendiente de una línea entonces cómo encontramos la pendiente y lo que hacemos es tomar dos puntos de esta misma línea vamos a poner aquí un punto en otro color y digamos que en el eje x va a tener el valor de a y en el eje lleva a ser el valor efe cda y podemos decir que la función de la función de una línea por ejemplo que efe dx es igual a m x x mas no sabemos que sólo m&b peruanos es una revisión de los conceptos así que tenemos en x el valorada y en chile tenemos qué pasa con ese valor a cuando lo utilizamos en la función definida aquí y ahora tomamos otro punto en esta línea aquí es b mx y la coordenada de este punto aquí es b coma efe bb ya que éste es el punto donde evaluamos esta función en b así que dibujamos una línea aquí para poner en el eje efe db y para que quede más claro pongo que en este punto es la coordenada a coma efe cda así que cómo encontramos la pendiente entre estos dos puntos o en general pues la pendiente de toda esta línea ya que recordemos que la pendiente va a ser consistente en todo lo largo de stalin también recordamos que una vez que encontramos la pendiente pues va a ser la pendiente de todo esta línea recordamos es sólo una revisión sobre álgebra pero cómo lo hacemos y definimos la pendiente que es igual al crecimiento entre cuánto avanza y otra manera de escribirlo es el cambio en pie entre el cambio en x ahora vamos a calcular cuál es el cambio en chile y cuál es el cambio en x al menos para este caso en particular así que el cambio en chile es igual a qué bueno vamos a tomar las coordenadas de estos dos puntos al menos en la parte que corresponde a ye tomando el que tiene un aire más grande en este caso debería ser ve el cambio llegue entre estos dos puntos voy a dibujar este pequeño triángulo esto de aquí es el cambio llegue y también no puedo proyectar en el eje llegue para que se vea el cambio en llegar y cuál es esta distancia hacer efe db - efe de a lo escribimos efe db - efe de a y este es nuestro cambio en chile así que efe db - efe cda aquí está nuestro cambio en ye quiera cuál es nuestro camión x cambio en chile entre cambio en x y esto cuál es el camión x vamos a tomar éste como nuestro primer punto ya que para calcular la diferencia y usamos este como el primer punto y así vamos a hacer consistentes así que la parte xd este punto menos la x de este otro punto en este caso va a ser b - a b - ah y si tuviéramos la ecuación de esta función podríamos calcular estos puntos y entonces ya podremos tener la pendiente para esta línea y así de directo es cómo calculamos no está pendiente y para asegurarnos de que esto se entiende bien vamos a hacer un ejemplo concreto vamos a decir que este punto de ekin éste que estoy señalando tiene las coordenadas 2,3 y este otro que este color en amarillo tiene las coordenadas 5,7 y ahora vamos a encontrar la pendiente de esta línea sustituyendo estos valores 7 - tres que nuestro cambio llegue a qué es esto 7 aquí estrés y esto lo vamos a dividir en 35 - este es nuestro cambio mx y aquí está el 5 y aquí está el 2 y es nuestro cambio 5 - 27 - 3 4 en 35 -2 34 tercios esta va a ser la pendiente de esta línea que estamos especificando ahora veamos si podemos generalizar esto y este va a ser el nuevo concepto que vamos a aprender aquí como una forma de introducirlos al cálculo vamos a generalizar esto alguna curva así que digamos que ahora tengo una curva y esta curva de hecho la mujer a quien juntó para que puedan ver las similitudes entre ambas digamos que aquí tengo mis ejes y en esos ejes voy a dibujar una curva y digamos que esta curva es más o menos conocida ye igual a x cuadrada que luce más o menos así lo que quiero hacer es encontrar su pendiente en cualquier punto incluso antes de hablar de esto vamos a pensar en que significa encontrar la pendiente de una curva en este primer ejemplo la pendiente fue la misma a todo lo largo de esta función de esta línea pero en una curva la pendiente va cambiando y para tener una idea de lo que eso significa la pendiente en este punto sería más o menos esto la tangente a este punto de la curva y aquí la pendiente sería esto y en este otro punto la pendiente es tareas y un poquito menos negativa que la pendiente anterior y de hecho bueno creo que voy a ponerlo en otro color para que se note mejor la diferencia a que la pendiente es un poco menos negativa en cambio aquí en este punto cero la pendiente está plana esta línea horizontal va a ser la pendiente en este punto cuando la función es igual a hacer y conforme vamos avanzando en esta curva la pendiente comienza a ser positiva y empieza a incrementarse aquí está una pendiente y aquí está otra que tiene pendiente todavía más grande y como pueden ver la pendiente está cambiando en todos los puntos de esta curva y esa es la diferencia entre la pendiente en una línea y en una curva en una línea la pendiente es constante y en una curva la pendiente va cambiando en cambio en la línea si toman dos puntos miren la diferencia en x y la diferencia dnie y divide la diferencia entre la diferencia de aquí sí obtuvieron la pendiente de toda la línea y como vimos aquí en la pendiente en una curva cambia todo el tiempo si midiéramos la pendiente a casa que todavía aún más alta así que vamos a tratar de hacer un experimento y como ya sé cómo resulta este experimento no nos arriesgaremos demasiado así que bueno puede dibujar algo aquí ni ejeie que lo puedo dibujar mejor aquí está mi ejeie y aquí dibujo mi eje x x y aquí lo podemos llamar gof de x de cualquier manera es lo mismo y aquí voy a dibujar mi curva vamos a dibujar además la parte positiva así y que si yo quisiera encontrar la pendiente si yo quisiera encontrar la pendiente aquí bueno con base en la definición de la pendiente necesitaríamos dos puntos aquí no sabemos cómo definirla pendiente con un solo punto vamos a llamar a este punto que acabó dibujar x x para ponerlo en términos generales y para definir la pendiente de acuerdo con nuestra definición básica de álgebra necesitamos dos puntos así que vamos a encontrar otro punto aquí vamos a ponerlo en otro color vamos a tomar un punto un poquito más grande que x que bueno yo creo que vamos a poner un poquito más alejados y no va a estar todo muy ha atiborrado digamos que tengo este punto de aquí y que este punto es más grande que x y es más grande por una cantidad h vamos a escribir aquí x + h y eso es lo que es este punto y cuáles serán sus valores correspondientes en el eje bueno esta es la curva de ye igual a efe de x este punto de aquí va a ser fd x de nuestra particular xe acá qué bueno para hacerlo más claro esta x particular la voy a llamar x 0 esta de acá va a ser x 0 + h por lo tanto en el eje 10 sur fx de cero y la coordenada desde otro punto estará más o menos por acá y le corresponde en el eje che el punto f de x 0 + h y ahora cuál será la pendiente entre estos dos puntos que están relativamente cerca nos recuerden qué no hacerla pendiente sólo en este punto va a ser la pendiente de la línea que une estos dos puntos y siguió afuera dibujar se vería más o menos así una línea que intercepta la curva tanto en este punto como en este otro punto vamos a dibujar un poquito más claro aquí sería más o menos así como la interfecta en este punto con otra coordenada x 0 fd x 0 y aquí arriba que sería nuestra coordenadas x de cero masache x 0 masache goma fd x 0 masach así que cualquiera que sea esta función la estamos evaluando en estas coordenadas y aquí tenemos estos dos puntos una buena forma de comenzar es encontrar la pendiente de esta línea se cante y como hicimos en el ejemplo anterior tenemos que encontrar el cambio x y el cambio llegue ese es el cambio llegue la vertical y dividirla entre nuestro cambio x que es la horizontal aquí está de nuevo el cambio llegue y el cambio en x la pendiente de esta línea se cante va a ser igual a este punto de que parece ser un poco más grande así que nuestro cambio en ye que es este punto de aquí va a ser fbi x 0 + h y es este punto de aquí aunque podría parecer algo más sofisticado pero realmente lo que es este punto evaluado en el eje de la función en ese valor de ex y esto va a ser entonces el cambio de ye fx 0 + h la coordenada lleve esto - la coordenada enje del punto equis en esta parte de aquí va a ser fd x 0 y este es nuestro cambio en llegue este es nuestro cambio en chile y lo dividimos entre el cambio en x cuál es el cambio en x bueno tomamos el valor más grande de x que es el de este punto aquí x 0 + h - la coordenada xx que es x ser kisser así que esto es un cambio de aire entre cambio de equis pero bueno esta es la pendiente de la línea se cante pero todavía no encontramos cual está pendiente justo en este punto pero sin duda esto nos va a ayudar a llegar esa respuesta vamos a simplificar esto así que voy a escribir aquí la pendiente de la línea se cante de la línea se cante es igual a el valor de la función en este punto fd x 0 + h - el valor de la función aquí fd x 0 que esto es el cambio en el eje ye y es exactamente la misma definición dependiente que vimos al principio entre el cambio en x que esta parte x 0 y aquí tenemos menos x 0 estado se cancelen y nos queda solamente h así que esto es igual a nuestro cambio en ye entre el camión x muy bien pero quedamos que queremos encontrar la pendiente en este punto de la curva y qué es lo que puedo hacer bueno yo definí que este otro punto de acá era el primer punto más una distancia h esta h y tenemos algo en nuestra caja de herramientas que se llama límite ya que esta h su número en general podría ser un 10 12 puede ser un número pequeño totalmente arbitrario así que qué pasaría al menos en teoría sí ya comienza a ser esta h cada vez más pequeña si yo tomaré el límite conforme h se aproxima a cero imaginemos que al principio hs este número grande de aquí y si voy reduciendo h más o menos por acá está pendiente va a ser diferente y sigo siendo más pequeña h me voy a ir acercando a la pendiente de este punto sí h fuera tremendamente chiquito eso vemos casi encontrando la pendiente en el punto de interés por supuesto que sí está aquí es muy grande en mi línea se cante va a estar muy lejana en comparación de la pendiente que me interesa en este punto pero si esta h fuera un número infinitamente pequeño entonces me acercaría bastante a la pendiente que me interesa así que qué pasa si como el límite de esto conforme h se aproxima a cero el límite cuando h tiende a cero de la pendiente de mí se cante efe the x 0 + h - efe de x 0 / h que es mi cambio x que es h a veces en lugar de la h se escribe delta x así que en lugar de límite cuando h tiene cero sería cuando delta x tiende a cero y aquí bueno sustituimos las h por delta x y que daría exactamente lo mismo no importa si es h o delta x lo que estamos usando es la diferencia entre un punto equis y el punto equis mayor y si tomamos el límite de esto cuando se aproxima a cero encontraremos está delta x y ahora voy a llamar a esto que es igual a la pendiente de mí line tangente a mi punto de interés esto es igual a la pendiente de la línea está en gente en un punto de esta curva esto lo voy a llamar la derivada de efe derivada de efe y voy a decir que esto es igual a efe prima de x y ésta va a ser otra función recordemos que la pendiente cambia en cada valor de x no importa qué valor de xl jamosh la pendiente va a ser diferente así que si ustedes me dan un valor x yo lo pongo en esta nueva función aplicó esta fórmula y les podría decir cuál es la pendiente en ese punto equis y en el siguiente vídeo realizaremos un ejemplo concreto para que todo esto quede bastante más claro