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Diferenciabilidad en un punto: gráficamente

Transcripción del video

aquí a la izquierda se encuentra la gráfica df que tiene una tangente vertical en el punto 3,0 que nos vamos al punto 3,0 y aquí la gráfica efe tiene una tangente vertical vamos a dibujarla aquí tiene una tangente vertical y también tiene una tangente horizontal en los puntos 0,23 nos vamos al 0 - 3 aquí tiene una tangente horizontal y también tiene una tangente horizontal en el punto 6,3 6,3 aquí tiene otra tangente horizontal y lo que tenemos que hacer es seleccionar todos los valores de x para los cuales efe no es diferenciable de todas estas opciones tenemos que seleccionar las que apliquen pero a ver pensemos en esto queremos buscar todos los puntos de x para los cuales efe no es diferenciable o sea estamos buscando los puntos de x para los cuales no existe efe prima y esto puede suceder por tres razones distintas la primera condición que nos dice que no existe la derivada de efe en un punto es que tengamos una tangente vertical como aquí tangente tangente vertical y porque si tenemos una tangente vertical no se puede definir la derivada de efe bueno pues recuerda que con la derivada lo que queremos hacer es encontrar la tasa de cambio de ye con respecto a x pero sí tenemos una tangente vertical con el más ligero cambio en el eje de las x tenemos una cantidad infinita de cambio en el eje de las leyes ya sea en el sentido positivo o negativo así es que esta es una situación en la que no tenemos efe prima y bueno por acá nos dicen exactamente en dónde tenemos una tangente vertical en el punto 3,0 o sea cuando x es igual a tres por lo que en esta opción no tenemos derivada de efe porque tenemos esta tangente vertical y bueno tal vez en este momento tú me preguntes oye pero qué pasa con las tangentes horizontales pero con las tangentes horizontales no tenemos ni un solo problema las tangentes horizontales son sólo lugares donde la derivada es igual a cero así es que por aquí efe prima de seis es igual a cero y efe prima de cero es igual a cero pero regresando a la pregunta cuáles son los otros escenarios donde efe no es diferenciable bueno tenemos un segundo escenario que es cuando la función no es continúa no continúa aquí por acá en la gráfica df podemos ver que cuando x es igual a menos tres efe no es continúa así es que por aquí efe no es diferenciable en x igual a menos tres efe no es diferenciable y bueno estos son los únicos lugares que nos han dicho en esta gráfica que efe no es diferenciable la verdad no sabemos cómo se comporta la función de este lado ni de este otro seguramente estos dos son casos muy interesantes pero ninguno de los dos casos está dentro de las opciones que podemos escoger por otro lado acerca de esta opción ya la analizamos ya dijimos que aquí la derivada es cero y cuando x es igual a 6 también sabemos que efe diferenciable porque su derivada es cero porque tenemos aquí una tangente horizontal y bueno nos falta un último escenario en el que una función puede no ser diferenciable el tercer escenario sucede cuando tenemos una curva cerrada ahora esta no es una definición precisa mente matemática es un término bastante coloquial y a lo que me refiero con esto es cuando tenemos picos por ejemplo cuando tenemos una función así o cuando tenemos una función así porque lo que sucede aquí es que del lado izquierdo tenemos cierta pendiente conforme nos acercamos al pico pero del lado derecho tenemos otra pendiente por lo tanto el límite por la izquierda de la pendiente será distinto al límite por la derecha de la pendiente por lo que es el límite no existe porque es distinto del lado izquierdo que del derecho pero bueno en este ejemplo yo no veo ninguna curva cerrada así es que esto no aplica para este ejemplo bueno ahora vamos con otro ejemplo y este ejemplo si tiene una curva cerrada así es que va a ser un ejemplo muy interesante a la izquierda se encuentra la gráfica de la función efe tiene una cinta vertical cuando x es igual a menos tres definitivamente la podemos ver por acá y tiene una sin otra horizontal cuando llegué es igual a cero a ver yo igual a cero sí definitivamente por acá este pedazo de la gráfica parece que se acerca cada vez más a cero conforme x tiende a menos infinito y tiene otra sin tota horizontal cuando llegué es igual a 4 llegó a la 4 si también parece que conforme x tiende a infinito esta parte de la gráfica se acerca cada vez más a cuatro ahora selecciona todos los valores de x para los cuales efe no es diferenciable bueno primero que nada podemos pensar en las tangentes verticales yo no veo ninguna no no hay ninguna tangente vertical luego nos ponemos a pensar en los valores de x en los que la función no es continúa efe definitivamente no es continua cuando tenemos está sin total vertical así es que efe no es continua cuando x es igual a menos tres a menos tres tampoco es una función continúa cuando x es igual a 1 así es que aquí efe tampoco es diferenciable y luego la última situación que habíamos visto para que efe no fuera diferenciable es si teníamos una curva cerrada que también lo podríamos ver como un punto afilado en nuestra gráfica o bueno un pico y bueno yo veo uno de esos puntos por acá y observa por acá del lado izquierdo del punto si nos fijamos en la pendiente por acá pareciera que tiene una pendiente de no sé una pendiente de tres medios más o menos pero si nos vamos a la derecha de ese punto la pendiente ahora es negativa así es que si tratáramos de encontrar el límite de las pendientes conforme se acercan a tres de los dos lados que es justo lo que siempre hacemos cuando encontramos la derivada en un punto bueno pues el límite no va a estar definido porque va a ser distinto por la izquierda que por la derecha así es que efe tampoco es diferenciable en este punto en el punto que provoca este pico esta curva cerrada efe no es diferenciable en 3 y dibujamos la gráfica de la derivada de efe que lo vamos a hacer muchas veces en otros vídeos veríamos que en este punto la derivada de efe no es continúa pero bueno regresando por acá ahora vamos a checar 100 x igual a cero la función efe ess diferenciable x igual a cero y por aquí en este punto se ve bastante bien la recta tangente definitivamente no se ve como una recta vertical la función efes continua en este punto y no tenemos ningún pico ninguna curva cerrada como la que teníamos por acá así es que cuando x es igual a cero efe si es diferenciable