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Transcripción del video

digamos que nuestra función en este caso es fx igual al logaritmo natural de x y en este caso lo que vamos a querer es calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica justo cuando x es igual a e es decir queremos calcular la derivada justo en nuestro punto muy bien y queremos saber cuánto vale esto entonces lo que vamos a hacer es calcular la pendiente justo cuando aquí vale subimos a la gráfica vemos cómo se comporta la la recta tangente y ver cuál es su pendiente entonces vamos a hacer vamos a utilizar la la forma digamos o o la definición formal de lo que es la derivada y después vamos a utilizar en este caso la definición alterna para la forma vamos a tomarnos digamos un x cualquiera por aquí no sé el que sea muy bien entonces nos vamos directo a la gráfica y aquí tengo el punto equis coma fd x muy bien dónde efe insisto es el logaritmo natural ahora vámonos con qué pasa si tenemos un x + h digamos que aquí tenemos xmas h entonces nos vamos directo a la gráfica también y tenemos aquí el punto equis masache coma efe dx más h bien ahí tenemos este punto y si nosotros queremos calcular la pendiente de la recta que conecta estos dos puntos entonces estamos pensando en una recta secante muy bien y ccoo y bueno vamos a calcular esa pendiente keith entonces para calcular lo vemos el cambio en la componente vertical que en este caso sería efe dx más h - efe dx y todo esto va dividido entre el cambio en la componente horizontal que sería xmas h - x que si nos damos cuenta eso simplemente es h verdad xmas h le restó x pues sólo nos queda h muy bien ahora el punto el punto central de todo esto es hacer que este x masache se vaya pareciendo cada vez más a x es decir vayamos moviéndonos hacia la izquierda en este caso es decir que la che sea cada vez más chiquita muy bien de esa forma nosotros podríamos aproximar muy bien lo que es la pendiente de la recta tangente justo en el punto equis entonces lo que necesitamos es calcular el límite voy a ponerlo con color blanco el límite cuando h tiende a cero de esta expresión y cuando hh cero pues xmas h se va apareciendo muchísimo a la x muy bien entonces está justamente es la definición formal de lo que es la derivada de la función efe en el punto equis ahora bien a nosotros no nos interesa en todos los puntos nos interesa justamente para cuando x es igual a al número e ok entonces vamos a calcular lo tenemos que calcular ese prima en el punto e en cuando x vale y esto es igual a quien esto es igual por por esta definición de arriba al límite cuando h tiende a cero de nuestra función efe evaluado en x masache que en este caso es el logaritmo natural de ahorita pongo qué bueno es de masache bien - el logaritmo natural de donde quiere evaluar que en este caso es todo esto / h entonces sustituimos en vez de x ponemos e iac y ponemos e iu ya quedó verdad entonces esto es lo que nos da la pendiente de la recta tangente en esencialmente esta expresión de aquí arriba es una función medio loca dx verdad está medio loca porque tiene un límite y estamos evaluando en cosas medio raras pero bueno esta es la definición de la derivada como función de ahora sí nos interesa en el punto en particular que digamos no nos interesa la deriva en todos lados sino en un punto muy particular entonces podemos utilizar la definición alterna tomamos un x por aquí digamos entonces nos tomamos este punto de aquí que es el x coma fd x muy bien que de hecho lo va a poner de una vez fx es el logaritmo natural de x ese punto y ahora calculamos la pendiente de esta recta se cante como es pues el incremento en la en la componente llegó en la componente vertical y eso es el logaritmo natural de x menos uno que es este punto de aquí todo esto entre la diferencia en la componente horizontal que es x - x - e muy bien y ahora lo que yo quiero es hacer que esta x se aproxime a e entonces le calculó el límite cuando x tiende a nuestro número e de esta expresión y ésta es justamente la definición alterna de la derivada pero en el punto muy bien entonces puedes hacerlo con la definición formal que aquí está que aquí está hecho ok esto es aplicando la definición formal o bien puedes calcular la derivada utilizando la definición alterna en cualquiera de los dos casos estamos haciendo exactamente lo mismo