Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:28

La derivada de x² en x=3 por medio de la definición formal

Transcripción del video

en el video anterior tratamos de encontrar la pendiente en un punto o la pendiente de una curva en un punto en particular y la forma en la que lo hicimos fue tomar ese punto en la curva y elegir otro punto que no estuviera muy alejado de este y dibujar una línea seca ante generamos puntos y encontrar la pendiente de esa línea se cante así que este es nuestro cambio llegue que se divide entre el cambio x en este caso hs diferencia en distancia de el valor en x de mi punto de interés y del punto que no está muy alejado de mi punto de interés y posteriormente lo que dijimos fue bueno porque nos tomamos el límite conforme h se aproxima a cero conforme se reduce esta distancia entre estos dos puntos y por lo tanto esa línea va a tener la pendiente que me interesa en este punto de la función a esta función le llamamos la derivada de g o igual a efe prima de x y ahora vamos a ver si podemos aplicar esta fórmula con un ejemplo concreto para que nos quede más claro este concept cómo vamos a hacer un caso particular permítanme dibujar una función en concreto vamos a dibujar nuestro eje de las diez mejor aquí nos quedó más bonito dibujo mi eje de la sec y si vamos a decir que mi función es esta curva de kim es la curva llegó a la x cuadrada es me dije ni eje x y quiero conocer la pendiente del punto cuando x es igual a tres y cuando me refiero a la pendiente ustedes pueden imaginarse una línea tan gente que pasa justamente en este punto lo voy a dibujar en amarillo en donde apenas está rozando la curva en este punto esta va a ser la pendiente y quiero encontrar cuáles para hacer lo voy a utilizar la misma técnica que hicimos la vez pasada y lo vamos a generalizar para que éstos no tengan que ustedes hacer para cada número así que vamos a tomar otro punto por acá vamos a tomar el punto en el que si este estrés hacer tres más del tae quise el punta que voy a tomar una diferencia n aquí también la natación porque en algunos libros se van a encontrar un h y en otros libros se van a encontrar la vuelta x y no nos hace daño a conocer ambos términos lo primero que tengo que ver es cuál es este punto de aquí cuáles son sus coordenadas ye es igual a x al cuadrado x en este caso estrés por lo que llegue va a ser tres al cuadrado 3 x 39 esta parte este valor entre el 9 y con este otro punto vamos a ver cuál es su valor en ch tengo aquí me tres más del está x es la función y el valor correspondiente en ye ye shiwen la x cuadrada entonces el valor en lleva a ser tres más zx al cuadrado muy bien entonces tengo aquí este punto en la curva y vamos a proyectar este valor en el eje ye y quedamos que este valor es tres más del taa x al cuadrado y ahora vamos a calcular la pendiente de esta línea se cante que en estos dos puntos está que estoy dibujando aquí y vamos a ampliarlo para que se note mejor estoy ampliando una base a esta parte de la función de la curva aquí estoy poniendo el mi punto de interés aquí está el otro punto y aquí está mi línea se cante líneas se cante línea se cante y quedamos que en este punto sus coordenadas son 3,9 y en el punto de que arriba sus coordenadas son tres más del para x que es el valor en x coma tres más alta x al cuadrado pero vamos a poner el valor desarrollado ustedes pueden hacer la misma operación el cuadrado de a más dos por a o por b más el cuadrado debe y si lo sustituimos sería 9 + 2 x 3 6 por delta x6 por delta x + delta x al cuadrado y todo esto es la coordenada de este segundo punto este es el valor de x y todo esto que acabo de desarrollar es el balón llegue así que la pendiente esta línea la pendiente de esta secante va a ser el cambio en llegue dividido entre el cambio en x el cambio llegue es igual a el valor en ye de este punto menos el balón llegue este otro punto es 9 +6 delta x + delta x al cuadrado todo esto está condenada en este punto menos la coordenada nieve de este otro punto que es el 9 menos nueve es nuestro cambio llegue y lo vamos a dividir entre nuestro cambio en x nuestro camión x va a ser el valor de x que de este primer punto comenzamos con el mismo punto que usamos arriba para ser consistentes tres más del tae keys y esto le restamos el valor en x de este otro punto que es 3 - 3 vamos a simplificar esto en el numerador cancelamos este 9 con éste - 9 y en el denominador cancelamos este 3 con el -3 así que nuestro camión x de hecho termina siendo el delta jcs lo cual tiene sentido pues finalmente esto es el cambio la diferencia entre estos dos puntos en el eje x finalmente la pendiente de esta línea se cante se simplifica como 6 por delta x + delta x al cuadrado entre mi camión x y podemos simplificar esto aún más dividimos el numerador entre nuestro cambio en x vamos a cambiar de color para que sea más fácil de ver esto en pantalla la pendiente de mi línea se cante va a ser igual a dividimos numerador entre denominador esto queda seis más delta x al cuadrante delta x me queda delta x y me pendiente queda como seis más el cambio en x vamos a escribirlo aquí arriba nuestra pendiente es igual a seis más del está x la pendiente de esta línea k si este delta x fue cuando a uno estos valores en x serían tres y cuatro por lo tanto me pendiente si hacéis más el valor de delta x que son 16 las 17 me pendiente sería igual a 7 recuerden que encontramos una fórmula general para encontrar la pendiente de esta línea se cante ahora lo que queremos hacer es encontrar la pendiente me este puntito de aquí exactamente en este punto y ahora vamos a ver qué sucede cuando yo tomo el límite cuando ésta delta x tiende a cero es decir que esta diferencia en x se va reduciendo por ejemplo si estuviera aquí esa línea se cante pasaré por acá y fue todavía más chica estaría más o menos aquí mucho más cerca de nuestro punto se convertiría en una línea tan gente que es la línea está gente que estamos buscando para obtener su pendiente el límite de esta x cuando tiende a cero de la pendiente de nuestra línea se cante que seis más del tae kiss podemos decir que esto es igual a 6 así que la pendiente de nuestra línea tangente en el punto de interés en este punto de kim es igual a 6 otra forma de escribir esto es que fx es igual a x cuadrada que la pendiente de la línea tangente de esta función efe prima en 3 estoy hablando lo en el punto 3 va a ser igual hacéis aún no ha llegado a una fórmula general para encontrar la pendiente en cualquier punto de esta curva pero eso lo vamos a hacer en el siguiente vídeo