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Ejemplo resuelto: derivada de ∜(x³+4x²+7) con la regla de la cadena

Transcripción del video

veamos si podemos sacar la derivada con respecto a x de la raíz cuarta dx kubica más 4x cuadrada +7 al principio podría decir muy bien cómo sacó la derivada de la raíz cuarta de algo parece que tenga una función compuesta estoy sacando la raíz cuarta de otra expresión y tendrá razón o si estás lidiando con una función compuesta la regla de la cadena debe ser tu foco de atención pero primero simplemente vamos a hacer esta raíz cuarta un poco más manejable recordando que la podemos ver como un exponente fraccional así que esta misma cosa que tengo aquí va a ser exactamente igual que tomármela derivada con respecto a x de y bueno en lugar de poner la raíz cuarta voy a poner xq vícam xq vícam más 4x cuadrada +7 todo esto elevado a la potencia un cuarto y quiero la derivada de esto que tengo aquí bueno como dije hace unos segundos lo que podemos usar es la idea de que ésta es una función compuesta qué te parece si llamamos a todo esto a todo esto primero como no sé cómo pude x ud x y así vamos a poder encontrar su derivada de una manera más sencilla porque aquí tengo a o dx elevado la potencia un cuarto así que la manera en la que vamos a sacar esta derivada es primero sacando la derivada de esto de ud x elevado al a un cuarto podríamos verlo como la derivada de la función externa con respecto a hugo dx y después vamos a multiplicar lo por la derivada de eeuu con respecto a x así que hagamos esto entonces esto va a ser igual a la derivada de nuestra función externa am que vamos a resaltar con este color a la derivada de mi función externa qué es esto esto ha elevado a la potencia un cuarto vamos a sacar la derivada de algo que está a la un cuarto es decir la derivada de esto con respecto a la función interior con respecto ao dx y bueno es simplemente usar la regla de las potencias voy a traer este un cuarto que tengo aquí al frente y me va a quedar un cuarto que multiplica algo ahorita vamos a ver a que algo elevado a la potencia un cuarto un cuarto menos uno lo único que estoy haciendo es la regla de la potencia pero aquí adentro no tenía una x tenía la función vx estoy sacando la derivada con respecto a eeuu de x con respecto a esta expresión polinómica así que déjame ponerlo aquí adentro voy a tener a x ubica adam + 4 x cuadrada am +7 y luego quiero multiplicar todo esto por la derivada del interior con respecto a x ojo esto es simplemente aplicar la regla de la cadena estoy sacando la derivada del exterior con respecto a la función interior y después hay que multiplicarlo por la derivada de la función interior entonces cuál va a ser la derivada de ud x de ud x con respecto a x bueno lo podemos escribir a kim joo prima de x va a ser igual y observa es simplemente aplicar la regla potencia varias veces este 3 lo vamos a bajar y me va a quedar 3 x elevado a la 3 - 1 lo cual es elevado al cuadrado más ahora este 2 lo voy a pasar multiplicando para que adelante y me va a quedar 8x elevado la potencia 2 - 1 lo cual es la potencia uno así que podemos ponerlo y ya está porque la deriva de 7 con respecto a x 0 se elimina entonces a esto de aquí lo voy a multiplicar por la derivada de un con respecto a x que es esto que tenemos aquí que multiplica a 3 x cuadrada más 8x y bueno tal vez esto se pueda limpiar un poco porque un cuarto esto menos uno es exactamente lo mismo kemp - tres cuartos así que lo voy a poner así tenemos a esto elevado a la menos tres cuartos y ya está podríamos tratar de simplificar está un poco pero lo importante es que te des cuenta de que acabamos de hacer la regla de la cadena eso es la clave bueno la primera cosa que hicimos fue reconocer que la raíz cuarta era exactamente lo mismo que tener esta expresión elevada la potencia un cuarto eso es una propiedad básica de los exponentes y luego reconocer que aquí tenemos una función compuesta y como tenemos una función compuesta entonces al sacar la derivada lo que hacemos es primero sacar la derivada de lo exterior con respecto al interior la derivada del exterior con respecto al interior y después multiplicarlo por la derivada del interior con respecto a x muy bien así que si yo les dijera tengo la función no sé efe the x es igual a la raíz cuarta de x ubica más 4x cuadrada +7 y te pregunto cuánto vale efe prima de - 3 bueno ya que tenemos la derivada de esta función que es todo esto de aquí vamos a evaluar los -3 para ver qué obtenemos así que permítame hacer eso me va a quedar un cuarto y un cuarto que multiplica y después acá adentro me quedaría -3 al cubo es menos 27 +4 por nueve esos 36 +7 esperemos que eso funcione bien esto elevado a la potencia - tres cuartos así funciona esperam -27 +7 es menos 20 +36 esto se simplifican a 16 muy bien esto va a ser bastante bueno para elevar la potencia menos tres cuartos y después a eso hay que multiplicarlo por bueno 3 que multiplica 9 esos 27 - ocho por 324 y esto también se simplifica 27 - 24 estrés así que vamos a simplificar un poco esto tres por un cuarto eso es lo mismo que tres cuartos y después tengo a 16 y en lugar de poner todo esto primero lo voy a llevar a la potencia un cuarto y después lo voy a llevar a la potencia -3 estoy haciendo propiedades básicas los exponentes y ahora 16 elevado a un cuarto esto de kim se simplifica a todos y 22 elevado al cubo es 8 entonces dos elevado la menos tres será un octavo entonces esto es lo mismo que tres cuartos por un octavo y esto es igual a 332 seamos así que ya está la pendiente de la recta tangente a la gráfica efe x cuando x es igual a menos tres es de 330 y 12 a 2