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Transcripción del video

éstas son la imagen de isaac newton quien fue un mate más matemático y físico británico y de este otro lado tenemos a god philippe lamy quien también fue filósofo y matemático y y que fue contemporáneo y a isaac newton quizás no tan famoso como él pero bueno estos dos caballeros juntos fueron los padres fundadores del cálculo hicieron la mayor parte de su trabajo digamos a finales del 2006 cientos y este señor de aquí es usain bolt que hasta ahora en 2013 parece ser él el ser humano más rápido que hay sobre la tierra y quizás probablemente es el más rápido que ha existido en la historia de la humanidad y quizás aún no hayas hecho la asociación con estos tres personajes quizás podrías pensar que no tienen mucho en común pero ellos se han hecho la misma pregunta fundamental y que es la misma que el cálculo diferencial atiende y es la pregunta de cuál es la tasa instantánea de cambio de algo en el caso de usain bolt ok es qué tan rápido se está moviendo justo ahora no su velocidad promedio en el último segundo o su velocidad promedio en los próximos diez segundos sino qué tan rápido se está yendo justo ahora y eso es lo que el cálculo diferencial se trata así que vamos a escribirlo el cálculo el cálculo diferencial diferencial justamente aborda el problema de las tazas instantáneas de cambio que la taza instantánea la taza instantánea y realmente todo se trata de qué es lo que está pasando en este instante en este mismo instante y para pensarlo realmente pues realmente ver que no es un problema tan sencillo para abordar con el álgebra tradicional así que déjenme dibujar una gráfica por aquí y vamos a pintar unos ejes digamos aquí tenemos nuestros ejes digamos que aquí en el eje ye tenemos la distancia que íbamos a calcular la distancia en función de x que va a ser el tiempo el tiempo muy bien entonces lo que yo voy a hacer es graficar un poco de lo que hace y usain bolt usain bolt en su en su carrera digamos sabemos que usain bolt bueno al inicio cuando el tiempo todavía no avanza es decir cuando el tiempo es cero pues no se ha movido verdad todavía se está preparando para salir corriendo sin embargo sabemos que este señor a los 9.58 segundos puede recorrer 100 metros 100 metros los puede recorrer en en 9.58 segundos entonces lo que podemos nosotros hacer es calcular la velocidad promedio la velocidad promedio voy a ponerlo completito velocidad promedio y esto no es otra cosa más que el cambio el cambio que hace en la distancia la distancia recorrida muy bien entre el cambio en el tiempo el tiempo que le tomó llegará hasta ese final muy bien y eso pues no es otra cosa más que nuestro cambio en nuestra variable ya que la distancia sobre nuestro cambio en la variable x que es el tiempo y si recuerdas muy bien de tus clases de álgebra o quizás de otros videos puedes ver que esto no es otra cosa más que la pendiente de la recta que conecta estos dos puntos verdad de este lado nosotros tenemos el cambio llegue el cambio llegue que son 100 metros 100 metros mientras que aquí tenemos nuestro cambio en x que es justamente 9.58 segundos entonces estoy aquí es fácilmente calculable y éstos serán 100 metros entre en 9.58 segundos esta es una forma de calcular la velocidad instantánea bueno más bien la velocidad promedio ya que recorrió esos 100 metros y para ver esto más claro vamos a sacar la calculadora y ver justamente bueno aquí ya tenía una práctica pero tenemos 100 metros entre 9.58 y eso que nos da eso nos da 10.43 que lo va a dejar simplemente como 10.4 pero más o menos 10.4 y las unidades son metros sobre el segundo que son justamente las unidades de la velocidad así que si uno quisiera por ejemplo calcular la cantidad de metros que ha recorrido en una hora pues simplemente hay que multiplicarlo por 3.600 que son la cantidad de vamos a hacerlo 10.10.10 por 3 mil 600 mil 600 que es la cantidad de segundos que hay en una hora y eso nos da 37 mil 440 metros que son 37 kilómetros aproximadamente 37 kilómetros y medio y bueno eso comparándolo con un carro es bastante bueno si el carro baja va lento pues no soy yo hago la comparación y me parece bastante rápido ahora si tu carro a lo mejor estado en en millas el digamos dónde marca la velocidad estado en millas por hora bueno simplemente hay que hay que hay que dividir entre 1.600 porque una milla es aproximadamente 1.600 entonces si dividimos entre 1.600 y esto será igual a 23.4 millas por hora entonces vamos a dejarlo así esto es aproximadamente 21 23 23.4 millas nos vamos a hacerlo 23.5 de 23.5 millas por hora y por ahora vamos a pensar no sólo en esta velocidad promedio sino déjenme hacer la gráfica aproximada de cómo es que usain bolt hace su recorrido digamos que al inicio pues empieza con una velocidad pequeña no va no arranca luego luego como como si fuera la mitad de la carrera sino que va un poco lento hasta que alcanza su máxima velocidad y después quizás por el cansancio empieza a desacelerar hasta que llega a la meta que son 100 metros entonces como puedes ver aquí en estos 100 metros no tienen la misma los ciudad que realmente calculamos en la velocidad promedio sin hoy y ya lleva una velocidad mucho menor ahora bien cómo puedes notar la velocidad realmente la podemos pensar como la pendiente de digamos de aquí de una línea tan gente a la curva entonces esa velocidad como puedes ver la pendiente no es la misma en todos los puntos aquí por ejemplo va un poco baja y después alcanza su máximo pico de velocidad es la digamos la pendiente más pronunciada y después al ir desacelerando se va relajando esa velocidad entonces lo que estuve buscando es que la velocidad máxima que se le ha detectado a usain bolt es de 30 millas por hora 30 millas por hora entonces puedes pensar que aquí aquí tenemos una pendiente de 30 millas por hora ok no importa realmente cuáles no qué el detalle es que es un cambio instantáneo y lo más rápido que se le ha detectado es de 30 millas por hora pero puedes ver que calcularlo no es algo muy trivial de hacer podría decir ok déjame intentar aproximar la pendiente en este punto justo de la siguiente forma vamos a hacer un cambio en x vamos a hacer un cambio en x y que eso nos provoque un cambio llegue ok entonces aquí podemos calcular la el cambio promedio con ésta con ésta con este cambio en x y con este cambio llegue y nuestra idea entonces es hacer lo siguiente y lo que vamos a hacer es bueno ya que tengo esta aproximación qué pasaría si yo hiciera este cambio en el tiempo cada vez más y más y más y más pequeño porque por supuesto esta curva no es común no es no es recta verdad del el cambio no es constante entonces si queremos hacer esto o bueno queremos calcular el cambio instantáneo lo que tenemos que hacer es hacer que el cambio en x la delta x sea cada vez más pequeño o en otras palabras más técnicas queremos hacer el límite cuando nuestro cambio en x tiende a cero del cambio llegue sobre el cambio en x muy bien entonces de esta forma puedes verlo como el cambio instantáneo la pendiente instantánea n este punto de la curva ok y eso lo puedes hacer en cualquier punto o si lo expresamos ya en términos de lo que trabajamos en cálculo esto no es otra cosa más que la derivada de de la función llegue con respecto a x que en este caso es el tiempo y eso justamente es a lo que se le llama la derivada esto es la derivada y reserve esta anotación de dx ideye porque estamos estamos relacionando esto con la palabra diferencial esto es digamos de gm en marcarlo esto es una diferencia leyes y esto es una diferencial de nx y otra forma de conceptualizar esto que es la diferencial es un cambio infinitesimalmente pequeño en llegue y este es un cambio infinitesimalmente pequeño en x y al hacer estos cambios muy muy pero muy muy chiquitos en tanto dnie como en x podremos ser capaces de obtener está pendiente instantánea o en para este caso de este ejemplo que es la velocidad instantánea de usain bolt justo en ese momento y puedes notar que no no podemos poner a cero entre 0 verdad si ponemos aquí que el cambio en x 0 es decir ya no sólo aproximamos sino que hacemos el cambio en x igual a cero pues esto nos queda algo indeterminado verdad no podemos dividir por ceros así que necesitamos tomar el límite cuando se aproxima a cero y eso lo definiremos de forma más rigurosa en los próximos videos