Remover discontinuidades (por racionalización)

se a efe la función definida como fx es igual a la raíz cuadrada de x 4 - 3 dividido entre x5 y x6 distinto de 5 y el número c si x es igual a 5 si efe es continua en x igual a 5 cuál es el valor de c así que bien si la función es continua en x igual a 5 por definición eso significa que el límite cuando x tiende a 5 de la función de fx es igual al valor de la función en 5 pero el problema nos dice que la función en 5 vale c así que en realidad todo el problema se reduce a encontrar cuánto vale el límite de fx cuando x tiende a 5 sí evaluaremos directamente en esta expresión si sustituimos x igual a 5 obtendríamos 54 es igual a 9 en raíz - este 3 nos da 0 en el numerador y 5 menos 5 que es otro 0 en el denominador así que sería un límite de la forma 0 entre 0 y más adelante veremos que si tenemos una herramienta para lidiar con este tipo de límites se llama la regla el hopital pero vamos a hacer este ejercicio utilizando un poco de álgebra ingeniosa y elegante lo primero que voy a hacer es reescribir esta expresión para la función cuando x es distinto de 5 así que me escribo aquí x + 4 - 3 todo dividido entre x menos 5 y de álgebra ya sabemos que hay un truquillo para deshacernos de este radical cuando tengo un radical menos algo lo que puede hacer es multiplicar por el radical más algo es decir puedo multiplicar por mi radical que es x + 4 en raíz - aquí es menos así que voy a multiplicar por más más 3 y para no cambiar el valor de esta expresión lo que voy a hacer es también multiplicar el denominador por lo mismo por x 4 en raíz + 3 así que esto es igual a mi expresión original ahora bien de álgebra ustedes ya saben cuánto me va a dar este producto me va a dar el cuadrado del primer término el cuadrado de este término o de éste que son iguales como ser igual al cuadrado de s que es como el cual largo el cuadrado de la raíz de x 4 sería x 4 - el cuadrado del segundo término de este 3 - 9 todo eso dividido entre x 5 multiplicado por la raíz cuadrada de x 4 + 3 ahora bien si reduzco mi numerador obtengo 4 - 9 es menos 5 así que sería x 5 entre el producto de x-men o 5 con la raíz cuadrada de x + 43 si x es distinto de 5 entonces x 5 es distinto de 0 eso me permite dividir al numerador y el denominador entre x 5 y escribir esto como este x menos 5 se cancelaría con este x menos 5 y obtendría 1 entre la raíz cuadrada de x 4 + 3 y esto vale si x es distinto de 5 pero eso está bien porque la expresión para la función de la cual partimos también solo vale si x es distinto de 5 así que en vez de trabajar con esto voy a trabajar con 1 entre la raíz cuadrada de x + 4 + 3 y esta expresión se vale arbitrariamente cerca de 5 de modo que calcular el límite de fx cuando x tiende a 5 es equivalente a calcular el límite cuando x tiende a 5 de 1 entre la raíz cuadrada de x 4 x 4 + 3 pero qué pasa si sustituyó aquí el valor de 5 obtendría 1 entre 54 es 9 raíz cuadrada sería tres más tres sería seis así que el valor de c tiene que ser igual a sexto si se vale un sexto entonces el límite de fx cuando x tiende a 5 es igual al límite de cuando x tiende a 5 de esta expresión que es igual a un sexto por lo tanto la función sería continua en 5