Un hoja con un resumen rápido de la regla de la cadena.

Introducción

Si f(x)f(x) y g(x)g(x) son dos funciones, por ejemplo f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=sin(x)g(x) = \sin(x), sabemos cómo sacar la derivada de su suma:
Regla:ddx(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)\dfrac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
Ejemplo:ddx(x2+sin(x))=2x+cos(x)\dfrac{d}{dx} (x^2 + \sin(x)) = 2x + \cos(x)
También sabemos cómo sacar la derivada de su producto:
Regla:ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)+g(x)f(x)\dfrac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)g'(x)+ g(x)f'(x)
Ejemplo:ddx(x2sin(x))=x2cos(x)+sin(x)2x\dfrac{d}{dx} (x^2\cdot\sin(x)) = x^2 \cos(x) + \sin(x)\cdot2x
La regla de la cadena ahora nos dice cómo sacar la derivada de su composición, o bien f(g(x))f(g(x)):
Regla:ddx(f(g(x))=f(g(x))g(x)\blueE{\dfrac{d}{dx}(f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)}
Ejemplo:ddx(sin(x))2=2(sin(x))cos(x)\blueE{\dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2 = 2(\sin(x)) \cos(x)}

Intuición al usar álgebra falsa

Advertencia: la siguiente sección puede causarles dolor de cabeza o mareo a los lectores sensibles al abuso violento de notación.
Tendemos a escribir las funciones y sus derivadas en términos de la variable xx.
ddx(x2)=2x\dfrac{d}{dx} (x^2) = 2x
Pero claro, podríamos usar cualquier otra letra.
dda(a2)=2a\dfrac{d}{d\blueD{a}}(\blueD{a}^2) = 2\blueD{a}
¿Qué pasaría si hiciéramos algo loco y reemplazáramos xx con una función en lugar de otra letra?
dd(sin(x))(sin(x))2=2sin(x)\dfrac{d}{d(\blueD{\sin(x)})} (\blueD{\sin(x)})^2 = 2\blueD{\sin(x)}
No es exactamente claro qué debería significar dd(sin(x))\dfrac{d}{d(\sin(x))}, pero continuemos por ahora. Podemos imaginarnos multiplicarlo por d(sin(x))dx\dfrac{d(\sin(x))}{dx} para "cancelar" el término d(sin(x))d(\sin(x)):
d(sin(x))2d(sin(x))d(sin(x))dx=ddx(sin(x))2 \dfrac{d(\sin(x))^2}{\cancel{d(\sin(x))}} \cdot \dfrac{\cancel{d(\sin(x))}}{dx} = \dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2
Esto no es algo matemáticamente válido, ya que los términos "dxdx" y "d(sin(x))d(\sin(x))" no son números o funciones que podamos cancelar. Hay formas de hacer esto legítimo que involucran matemáticas un poco más avanzadas, pero por ahora puedes pensar acerca de esto como un truco mental útil. La utilidad es que cuando desarrollamos ddx(sin(x))2\dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2 de esta manera, sabemos qué es cada término individual, incluso si no sabemos cómo sacar la derivada de (sin(x))2(\sin(x))^2:
Este truco se ve particularmente limpio cuando lo escribimos en abstracto, en lugar del caso específico de x2x^2 y sin(x)\sin(x):
ddx[f(g(x))]=dfdgdgdx \Large \boxed{ \dfrac{d}{dx}[f(g(x))] = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dx}}

Ejemplo 1:

f(x)=sin(x2)Funcin a diferenciaroˊu(x)=x2Define  como funcin internau(x)oˊf(x)=sin(u)Expresa  en trminos de f(x)eˊu(x)dfdx=dfdududxAqu se aplica la regla de la cadenaıˊdfdx=ddusin(u)ddx(x2)Sustituye  y f(u)u(x)dfdx=cos(u)2xEvala las derivadasuˊdfdx=cos(x2)(2x)Sustituye  en trminos de .ueˊx\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Función a diferenciar}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Define $u(x)$ como función interna}}} \\ & \\ f(x) &= \sin(u) \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $f(x)$ en términos de $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Aquí se aplica la regla de la cadena}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}\sin(u) \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $f(u)$ y $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(u) \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Evalúa las derivadas}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(x^2)(2x) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $u$ en términos de $x$.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Ejemplo 2:

Algo genial que podemos hacer ahora es encontrar la derivada de la función valor absoluto x|x|, la cual se puede definir como x2\sqrt{x^2}. Por ejemplo, 5=(5)2=25=5|{-}5| = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5.
f(x)=xFuncin a diferenciaroˊf(x)=x2Funcin equivalenteoˊu(x)=x2Define  como funcin internau(x)oˊf(x)=[u(x)]12Expresa  en trminos de f(x)eˊu(x)dfdx=dfdududxAqu se aplica la regla de la cadenaıˊdfdx=dduu12ddx(x2)Sustituye  y f(u)u(x)dfdx=12u122xCalcula las derivadas con la regla de potenciasdfdx=12(x2)122xSustituye  en trminos de u(x)eˊxdfdx=xx2Simplificadfdx=xxExpresa  como valor absoluto.x2\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{Función a diferenciar}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{Función equivalente}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{Define $u(x)$ como función interna}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $f(x)$ en términos de $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{Aquí se aplica la regla de la cadena}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}u^\frac{1}{2} \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $f(u)$ y $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Calcula las derivadas con la regla de potencias}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{Sustituye $u(x)$ en términos de $x$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{Simplifica}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{Expresa $\sqrt{x^2}$ como valor absoluto.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Composición arbitrariamente larga

La regla de la cadena se puede aplicar a la composición de muchas funciones, no solo de dos. Por ejemplo, supón que A(x)A(x), B(x)B(x), C(x)C(x) y D(x)D(x) son cuatro funciones diferentes, y define que ff sea su composición:
f(x)=A(B(C(D(x))))f(x) = A(B(C(D(x))))
Al usar la notación dfdx\dfrac{df}{dx} para la derivada, podemos aplicar la regla de la cadena así:
dfdx=ddxA(B(C(D(x)))=dAdBdBdCdCdDdDdx \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx} A(B(C(D(x))) = \dfrac{dA}{dB} \cdot \dfrac{dB}{dC} \cdot \dfrac{dC}{dD} \cdot \dfrac{dD}{dx}
Al usar la notación ff', se ve de la siguiente manera:
f(x)=A(B(C(D(x))))B(C(D(x)))C(D(x))D(x)f'(x) = A'(B(C(D(x)))) \cdot B'(C(D(x))) \cdot C'(D(x)) \cdot D'(x)

Ejemplo 4:

Supón que f(x)=sin(ex2+x)f(x) = \sin(e^{x^2 + x}).
Pensamos acerca de ff como la composición de
A(x)=sin(x)B(x)=exC(x)=x2+x\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin(x)}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}
Donde la derivada de cada función es
A(x)=cos(x)B(x)=exC(x)=2x+1\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos(x)}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}
De acuerdo a la regla de la cadena, la derivada de la composición es
f(x)=A(B(C(x)))B(C(x))C(x)=cos(ex2+x)ex2+x(2x+1)\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \cdot B'(C(x)) \cdot C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \cdot \greenD{e}^{x^2 + x} \cdot \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}