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Ejemplo resuelto: la derivada de ln(√x) usando la regla de la cadena

Transcripción del video

tenemos aquí la función fd x igual a logaritmo natural de la raíz cuadrada de x y lo que queremos hacer es encontrar la derivada de efe y la clave para encontrarla es darnos cuenta que efe se puede ver cómo la composición de dos funciones así es que vamos a hacer un diagrama donde eso se vea muy claramente a ver qué es lo que está pasando aquí si tomamos una x y se la damos a esta función que es lo primero que hacemos bueno pues les sacamos la raíz cuadrada si tomamos una x y se la damos a la función efe lo primero que estamos haciendo en realidad es dársela a la función que saca la raíz cuadrada de x tenemos aquí una función que lo que hace es sacar la raíz cuadrada de la entrada que le demos entonces cuando a esta función le damos una x como entrada nos regresa como salida la raíz de x y luego qué es lo que sucede en efe bueno ya que tenemos la raíz cuadrada de x sacamos logaritmo natural y eso lo podemos ver como otra función que lo que hace es sacar el logaritmo natural de la entrada que le demos y en estas funciones estoy utilizando estos cuadrados para representar a la entrada que le damos a la función así es que sea esta función le damos como entrada la raíz de x lo que nos regresa es el logaritmo natural de la entrada pero la entrada es la raíz cuadrada de x lo cual es exactamente igual a efe de x entonces ya escribimos a fb x como la composición de dos funciones keith fx la podemos ver cómo la composición de estas dos funciones todo esto es efe bx aquí podemos ver claramente que es la composición de dos funciones tomamos una entrada se la damos a esta otra función y la salida se la damos a otra función que nos produce la salida de la función efe a esta función de aquí le podemos llamar la función uu entonces tenemos esta función v x igual a la raíz cuadrada de x y entonces tomamos la salida de esa función y se la damos como entrada a esta otra función a la que le podemos llamar b y que hace la función b pues toma el logaritmo natural de la entrada que le demos en este caso cuando tenemos esta efe estamos tomando la función b pero tomando como entrada la raíz de equis pero eso es sólo en este caso particular en el que estamos construyendo a fb x ave le podemos dar cualquier entrada pero si le damos como entrada la raíz de x nos da como salida el logaritmo natural de la raíz de equis pero si lo queremos escribir en términos generales podemos escribir b de x ve en x men te el logaritmo natural de x ahora regresando por acá fx es igual a logaritmo natural de la raíz de x o sea que efe de x es igual a b que es el logaritmo natural evaluada en eeuu the x porque vx es la raíz de x así es que efe es la composición de estas dos funciones lo cual puede ser muy útil para encontrar la derivada de efe porque sabiendo esto la regla de la cadena va a ser muy útil para encontrar la derivada de efe y la regla de la cadena nos dice que efe prima de x es igual al la derivada de la función exterior b prima evaluada en la función interior uu de x por la derivada de la función de adentro o sea por un prime de x ya ahora lo único que nos falta es evaluar estas expresiones pero cómo hacemos eso bueno pues regresamos por acá tomamos esta función y la derivamos uu prime de x es igual a la deriva de la raíz cuadrada de equis pero aquí para que las cosas sean más fáciles es bueno recordar que la raíz cuadrada dx es igual a x elevado a la potencia un medio y entonces simplemente podemos utilizar la regla de las potencias para las derivadas tenemos un medio por equis al a un medio menos uno pero un medio menos uno es simplemente menos un medio y listo ya terminamos con está ahora encontremos de prima de x y bueno la derivada de logaritmos natural de x que simplemente uno / x esto ya lo vimos en algunos otros vídeos pero aquí ya sabemos cuánto es uu prima de x ya sabemos cuánto es b prima evaluada en x pero nos falta saber cuánto es b prima evaluada en ud x deprima evaluada en ud x la podemos encontrar muy fácilmente simplemente tenemos que poner hugo de x siempre que tengamos una x entonces ve prima evaluada en nude x es igual a 1 entre u de x lo cual es igual a 1 entre vx es simplemente raíz de x y es que ponemos por aquí raíz de x entonces este pedazo de aquí ya lo encontramos de prima de vx1 entre la raíz cuadrada de x y esta otra parte de aquí prima de x también ya la calculamos la tenemos por aquí un medio por equis al menos un medio ahora esto de tener x elevado a la potencia menos un yo lo podemos escribir mejor como aquí tenemos un medio y x elevado a la potencia menos un medio lo podemos escribir como uno entre x elevado a la potencia un medio lo cual también es igual a un medio por uno entre la raíz cuadrada de x o sea 1 / 2 por la raíz cuadrada de x entonces esto es igual a empezamos por aquí con b prima dvx que ya vimos que es uno entre la raíz de x y nos falta multiplicar por el rectángulo naranja o prima de x 1 / 2 por la raíz cuadrada de x y esto a cuánto es igual bueno a estas alturas es simplemente álgebra tenemos aquí uno entre 2 y la raíz cuadrada de x por raíz cuadrada dx es simplemente x y listo la derivada de logaritmos natural de la raíz cuadrada de x se simplifica 1 / 2 x por aquí hice este diagrama de las funciones para que vayas entrenando ese músculo en tu cerebro que te ayuda a detectar cuándo una función es la composición de dos funciones y también para que se entienda un poco mejor todas estas expresiones que puedes ver en tus libros de texto de cálculo o en tus clases pero conforme obtengas un poco más de practicadas a poder hacer todos estos cálculos directamente en tu cabeza sin tener que escribir todo esto y muy pronto vas a llegar a un punto en el que veas ok fd x es igual a el logaritmo natural de la raíz cuadrada dx es sólo podemos ver como una composición de funciones como un ave de eeuu de x entonces lo que necesito hacer es tomar la derivada de la función exterior evaluada en la función interior nosotros ya sabemos que la derivada de logaritmos natural de algo con respecto a ese algo es simplemente uno entre que sea algo y eso es justo lo que tenemos aquí lo que hicimos por acá de hecho puedes pensar cuánto sería la derivada del logaritmo natural de x pues sería uno / x pero en realidad aquí nosotros no estamos evaluando en x estamos evaluando en raíz de x entonces la derivada va a ser uno entre raíz de x así es que aquí lo que hacemos es tomar la derivada de la función exterior con respecto a lo que tenemos adentro pero luego nos falta multiplicar por la deriva de lo de adentro la derivada de la función interior con respecto a x y eso es esta parte de acá y listo así terminamos a