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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es demostrar que sí una función es derivable en un punto c también será continua en ese mismo punto pero antes de hacerla la prueba recordemos lo que significa la deriva habilidad y la continuidad muy bien así que vamos a empezar con la propiedad de la deriva habilidad muy bien y eso es una propiedad de las funciones verdad y por lo tanto vamos vamos a hacer un breve dibujo digamos que tenemos aquí los ejes digamos este es el eje ye y este es el eje x muy bien y digamos que tenemos alguna función no sé digamos algo así digamos algo que se vea algo así y queremos ver que esta función es derivable en cierto punto c muy bien entonces aquí tenemos el valor de la función en se verdad aquí tenemos fdc y por supuesto esta función o es la gráfica de la función ya iguala fd x muy bien y entonces una forma de calcular la derivada en el punto c sería de la siguiente forma tenemos tomamos cualquier punto digamos x por aquí y nos fijamos en su evaluación con la función efe verdad entonces acá es para digamos efe de x verdad y ahora calculamos la la pendiente de la recta se cante que une estos dos puntos verdad la recta se cante que une a efe des al punto se coma fcc con el punto equis coma fd x verdad y calculamos la pendiente ahora la idea de la deriva habilidades simplemente hacer tender x ac verdad y entonces eso es lo que nos va a dar es una pendiente es la pendiente de la recta tangente en él punto de verdad y tangente por supuesto a la gráfica entonces tenemos que calcular el límite cuando x tiende a c d e f de x verdad - efe dc - fcc todo esto sobre x men o se verdad sí nos damos cuenta esta expresión que tenemos aquí es la pendiente de la recta se cante que une estos dos puntos sin ahora nosotros incluimos este límite estamos calculando la pendiente de la recta tan gente muy bien y y y todo esto es sólo un repaso verdad si decimos que nuestra función efe ess deriva blend se lo único que estamos diciendo es justamente que este límite existe y en dado caso de que sí exista esto es a lo que conocemos como la derivada de efe en el punto sé muy bien ahora vamos a repasar lo que significa la continuidad muy bien vamos a ver qué significa que una función sea continua en algún punto y para eso vamos vamos a usar otra vez algunas gráficas pero en realidad la definición de continuidad sólo nos dice que el límite de fx cuando x se aproxima hace debería ser justamente lo lo intuitivo que es evaluar efe en el punto c ahora quizás es más fácil ver el caso donde una función es discontinua muy bien vamos a ver varios casos bueno veamos sólo dos casos digamos aquí nuevamente tenemos nuestro eje ye digamos que acá tenemos nuestro eje x y tenemos alguna función que se vea más o menos así y que en el punto se tenga un agujero y digamos que la evaluación en el punto c vaya por arriba y después continúe por la gráfica muy bien los que aquí está el punto c pero la evaluación de la de la función en se está hasta acá arriba muy bien entonces si nosotros por ejemplo quisiéramos calcular el límite cuando x tiene hace es decir aproximarnos a este punto digamos que quisiéramos aproximarnos a este punto verdad entonces la función se aproxima a este otro punto verdad entonces realmente aquí se encuentra el límite cuando x tiende a c de c de x verdad entonces no fue igual el valor de efe en sé que el límite de fx cuando x100 de hace verdad veamos otro ejemplo digamos que tenemos otra vez nuestros dos ejes aquí tenemos gx ye y digamos ahora que tenemos una función de este estilo que viene por este lado por aquí y después hacer todo un brinco hace todo un brinco y continúa nuestra función donde hizo el brinco digamos que ese es nuestro punto c entonces si nos fijamos en la gráfica aquí es aquí se encuentra efe evaluada en sé muy bien sin embargo ahora sí nos aproximamos por la izquierda hace en realidad nos estamos aproximando a este valor si no se aplica aproximamos por la derecha entonces nos estamos aproximando a otro valor completamente distinto entonces en este segundo caso el límite no existe ese límite no existe el límite cuando x100 de ac dc the x y entonces no podemos decir que la función sea continua ahora si hacemos un último dibujito de algo que sí sea continuo digamos algo más pequeño digamos algo así bien aquí está el eje x elegí y digamos ahora sí que nuestra función se ve como como las de siempre entonces aquí sí tenemos que la función evaluada en se corresponde con el límite verdad porque si nosotros ahora nos aproximamos por aquí entonces la función se aproxima a este punto mientras que si nos aproximamos por la derecha entonces la función se aproxima bien a ese mismo punto entonces en este caso sí podemos concluir que coincide con el límite cuando x tiene hace de la función fd x muy bien y hasta hasta ahorita todo esto fue un repaso y es un repaso necesario para ver lo que queremos demostrar en este vídeo y es que la deriva habilidad en el punto c implica que va a ser continua la función en ese mismo punto sé muy bien entonces vamos vamos a revisar la demostración de esa afirmación que íbamos a hacer lo digamos por separado hacerlo por separado vamos a poner unas líneas digamos así y entonces comencemos suponiendo vamos a suponer que supongamos que efe ess derivable en sé bien qué significaba que la función fuera derivable en se puede significar justamente que este límite que tenemos aquí arriba exista verdad y en ese caso le decimos que es la derivada de efe en sé muy bien entonces vamos a calcular el siguiente límite calculemos el límite cuando x tiende a c d fd x - fcc muy bien tenemos ese límite entonces si nosotros queremos calcular este límite vamos a utilizar un truco vamos a multiplicar por x - e vamos a multiplicar por x - e efe de x - fcc pero para no afectar la igualdad tendremos que dividir entre lo mismo verdad podemos dividir entre x - e entonces si te pones a pensar lo realmente multiplicamos por 1 verdad y eso no le hace nada a la expresión que teníamos anteriormente la única ventaja que tenemos ahora es que tenemos el límite de un producto y sabemos que si ambos límites existen pues corresponde al límite al producto de los límites verdad lo que quiero decir es lo siguiente tenemos el límite cuando x tiene hace de x men o se todo esto que multiplica al límite cuando x tiende a c d e f de x - fcc entre x menos sé muy bien entonces esto simplemente fue utilizando la regla del producto de los límites verdad ahora si nos ponemos a pensar qué significan estos dos límites por un lado el del lado derecho es justamente la derivada de efe evaluada en se verdad esto es justamente suponiendo que fes derivables entonces este límite existe y le llamamos efe prima de s por otro lado el límite de x men no sé cuándo x tiene hace pues es justamente 0 verdad x - sí sí xe parece hace pues e x menos ése va a parecer a cero verdad entonces el límite anterior que calculamos es exactamente cero muy bien y esto para que lo necesitamos bueno ahora regresamos a nuestra expresión original muy bien tenemos que el límite de fd x - fcc es igual a cero fue lo que encontramos en los argumentos pasados ahora muy bien recordemos que el límite de una diferencia es la diferencia de los límites entonces tenemos el límite cuando x tiende a c d e f de x - el límite cuando x tiende hace de fdc y esto tuvimos que vale cero verdad sin embargo fijémonos ahora en este término tenemos el límite cuando x tiene hace de fdc pero eso ya no depende de x verdad este numerito es simplemente una constante entonces el límite de una constante es exactamente la constante entonces esto es fcc tenemos el límite de fx cuando x tiene ac - fcc es igual a cero eso nos dice una sola cosa si sumamos de ambos lados fcc tendríamos del lado izquierdo límite cuando x tiende a c d e f de x y como sumamos fcc ya no lo tenemos del lado izquierdo pero del lado derecho ahora tenemos fcc verdad 0 + fdc nos da fdc entonces si nosotros recordamos la definición de continuidad estamos obteniendo en esa propiedad verdad estamos obteniendo justamente que la función es continua en el punto sé muy bien entonces a final de cuentas qué fue lo que hicimos primero supusimos que ferrera derivable en un punto ser verdad y calculamos el límite de fx - fcc cuando x tiende a c y resultaba ser cero verdad simplemente de multiplicar y dividir por x - e ahora utilizando ese resultado vemos que el límite de esta diferencia es la diferencia los límites idea y concluyamos que el límite de fx cuando x tiene hace es fcc muy bien y con eso estamos demostrando que es continua en el punto c así que espero que te haya gustado esta demostración