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La regla del cociente a partir de las reglas del producto y de la cadena

Transcripción del video

si tenemos las funciones que se están multiplicando por ejemplo sbx por gdx y queremos sacar la derivada con respecto de x de esta nueva función que conforman la multiplicación de estas dos funciones de la función efe jorge de x entonces lo que tenemos lo que vimos en uno de los vídeos pasados la regla del producto es que eso es igual a la derivada de fx por la función g sin derivar más fx la función tal cual por la deriva de g ok en cada uno de estos términos tenemos una función derivada y la otra no y después cambiamos la función que estaba derivada aquí ya no está derivada entonces quizá es la regla del producto lo que vamos a hacer en este vídeo es formular la regla del cociente que en realidad sale directamente de esta regla del producto pero en muchos libros de cálculo y en sus clases le van a llamar la regla del cociente la verdad yo siempre me olvido de cuál es la regla y el abuelo a sacar de esta regla del producto porque es muy sencillo y en realidad nada más es otra forma de expresar esta regla tal vez en alguna ocasión si te sirve hacer algunos cálculos más fácil si te sabes tal cual la regla del cociente pero en general siempre puede reducirla a partir de la regla del producto entonces veamos cómo se deduce digamos que tenemos dos funciones fx y gdx que está dividiendo a fx y queremos sacar la derivada de esta nueva función la derivada con respecto de x eso a que es igual pues realmente el truco es tomar fx y multiplicarlo por uno entre gdx aquí ya lo tenemos tal cual igualito que en la fórmula del producto pero para hacerlo todavía más sencillo aún suscribirá gdx de otra forma uno en traje de x en realidad es igual a gdx a la menos uno a la potencia -1 y entonces aquí simplemente aplicamos la regla del producto junto con la regla de la cadena para gdx al menos 111 esto es igual a la deriva de fx por cebek y sea la menos uno más efe de x por la derivada de gdx al menos uno aquí vamos a usar la regla de la cadena tenemos una cosa entre paréntesis ha elevado al menos uno entonces bajamos al menos uno y tenemos la cosa está elevada ahora al menos dos equis a la -2 y multiplicamos por la derivada de los de adentro el paréntesis o sea por la derivada de gx y listo esta es la derivada de fx entre gx aunque no se parece a la fórmula de la regla del cociente que aparecen todos los libros entonces vamos a simplificar esta ecuación para que se parezca para que está igualita a ver esto es igual a efe prima de xe la deriva de equis entre gdx nada que en realidad son menos porque están multiplicando por menos - fbi x por gdx al menos 2 o sea entre gdx al cuadrado porque prima de x o sea la derivada de g ya se parece un poquito más no sin embargo todavía le falta la última simplificación que aquí tenemos dos facciones y el denominador de ésta es que the x al cuadrado entonces vamos a hacer que este denominador también sea gdx al cuadrado multiplicamos arriba y abajo por gdx por gd x aquí sale el cuadrado y ahora si ya podemos suma estas facciones y nos queda es prima de x por gdx menos esté menos de aquí que salió de aquí de derivar gdx al menos 13 - fx jorge prima de x que estaba aquí entre todo esto entre gdx al cuadrado si se fijan aún así se sigue pareciendo mucho a la regla del producto o sea tenemos la derivada de una de las funciones por la otra función tal cual sin deriva y luego ahora sí hay un menos en lugar de en medio la función que habíamos derivado en un principio a fin de llevar ahora por la otra función derivada entre la función que está en el denominador al cuadrado p entonces cada vez que no se acuerdan de la regla del cociente pueden recordar la regla del producto y acordarse que hay que escribirlo como una multiplicación y usar la regla de la cadena en este término